展开 (几何)

在几何学中，展开或连续展开是指三维几何体表面的连续运动，将三维几何体从立体状态切割并在平面上展开成不互相重叠的展开图。与刚性折纸（英语：Rigid_origami）一样，在立体展开成展开图的过程中，展开图上的多边形面必须保持平坦且不得互相相交。与展开相反的动作为折叠，将几何体的展开图折叠回几何体，直观上来说，这是一种从纸展开图折成几何体的方法，除了指定的折痕外不会弯曲纸张。是否每个凸多面体都可以展开，目前是一个未解决的数学问题。[1]

正十二面体的展开

存在性

1999年，比德尔（英语：Therese Biedl）、鲁比（英语：Anna Lubiw）和孙（Julie Sun）对展开的早期研究表明，一些非凸但拓扑同胚于球面的多面体展开图无法从多面体展开为展开图，也就是说对应立体在转变为展开图的过程中可能会需要互相相交或弯曲表面才能展开，这种情况就称无法展开。[2]

是否每个凸多面体都存在展开的方法，也就是不需要互相相交或弯曲表面就能将几何体转变为展开图，这个问题是由罗伯特康纳利（英语：Robert_Connelly）提出的，后来被称为康纳利展开猜想。[1]米勒（Ezra Miller）和帕克（英语：Igor Pak）在2003年提出，源展开（英语：Source unfolding），即在具有多个最短测地线到指定源点的点处（英语：Cut locus）切割多面体所形成的展开图（包括跨多面体面的切割），总是可以展开，也就是说这种情况下能不必互相相交或弯曲表面就将几何体转变为展开图。

2009年，埃里克·德梅因（英语：Erik Demaine）等人证明了这一点，他们还表明，每个具有多边形连接在一条路径上之展开图的凸多面体都可以展开，并且每一个展开图都可以提取出道路连通的展开图[3]。

未解问题

目前不知道是否凸多面体的每一个展开图都能从凸多面体展开，也就是不需要互相相交或弯曲表面就能转变为展开图，米勒和帕克不愿意就这个问题做任何一个方向的猜想。[1]

未解决的数学问题：是否每个凸多面体都可以展开？  

目前不知道是否每个凸多面体都至少具有一个只切割多面体的边而不穿过其面的展开图（丢勒猜想），所以也不知道是否每个凸多面体都至少具有一个只切割其边就能不必互相相交或弯曲表面展开为展开图的方法。在2009年未发表的手稿中，伊戈尔·帕克（英语：Igor Pak）和罗姆·平查西（Rom Pinchasi）声称这对于每个阿基米德立体来说确实是可以做到的。[4]

寻找多面体是否可以不必互相相交或弯曲表面就能展开为展开图的方法这一问题，目前也已经作为一个运动规划的问题在计算上得到一些解决方法。[5][6][7]

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Miller, Ezra; Pak, Igor, Metric combinatorics of convex polyhedra: Cut loci and nonoverlapping unfoldings, Discrete & Computational Geometry（英语：Discrete & Computational Geometry）, 2008, 39 (1-3): 339–388, MR 2383765, doi:10.1007/s00454-008-9052-3   . Announced in 2003.
  2. ^ Biedl, Therese; Lubiw, Anna; Sun, Julie, When can a net fold to a polyhedron?, Computational Geometry（英语：Computational Geometry (journal)）, 2005, 31 (3): 207–218, MR 2143321, doi:10.1016/j.comgeo.2004.12.004   . Announced at the Canadian Conference on Computational Geometry, 1999.
  3. ^ Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Hart, Vi; Iacono, John; Langerman, Stefan; O'Rourke, Joseph, Continuous blooming of convex polyhedra, Graphs and Combinatorics（英语：Graphs and Combinatorics）, 2011, 27 (3): 363–376, MR 2787423, doi:10.1007/s00373-011-1024-3 . Announced at the Japan Conference on Computational Geometry and Graphs, 2009.
  4. ^ Pak, Igor; Pinchasi, Rom, How to cut out a convex polyhedron (PDF), 2009 [2022-08-13], （原始内容存档 (PDF)于2021-01-20） . As cited by Demaine 等人 (2011).
  5. ^ Song, Guang; Amato, N. M., A motion-planning approach to folding: From paper craft to protein folding, IEEE Transactions on Robotics and Automation, February 2004, 20 (1): 60–71, doi:10.1109/tra.2003.820926 
  6. ^ Xi, Zhonghua; Lien, Jyh-Ming, Continuous unfolding of polyhedra – a motion planning approach, 2015 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), IEEE, September 2015, doi:10.1109/iros.2015.7353828 
  7. ^ Hao, Yue; Kim, Yun-hyeong; Lien, Jyh-Ming, Synthesis of fast and collision-free folding of polyhedral nets, Proceedings of the 2nd ACM Symposium on Computational Fabrication, ACM, June 2018, doi:10.1145/3213512.3213517