若 是 中的非退化(半径为正数)闭球族,当中的球的半径有有限上界,即
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而A为当中的球的中心组成的集合。那么 中存在子集 ,每个 是可数多个互不相交的球的集合,而且
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其中 是一个仅依赖于n的常数。
先假设A是有界集合。依次选取球
- 选择 为 ,适合条件
- 若已选取 , 。令 。若 ,就停止;若否,选择 为 ,适合条件
球 有以下性质
- 以 的选取方法可知,若j > i,则 , 。
- 将全部球 的半径缩至三分之一,从以上不等式,可证这些缩小的球 互不相交。
- 若有可数无限多球 ,因A有界,及缩小的球不交的性质,所以球 的半径趋向0。
- 。若 数目有限,则结果明显;若数目是无限多,假如有 ,那么 中有球 ,而从上一性质知,对足够大的j,有 ,与 的选取条件矛盾。
对k > 1,估算 和多少个之前选择的球 相交。先将这样的 按半径 分成两组: 为第一组, 为第二组。
对第一组的球 ,将其缩小成 后包含在 中。 之间互不相交,故总体积不超过 的体积。又因 ,因此 相对 的比例有一个下限,而这下限仅由维数n决定。所以第一组的球的数目有一个仅依赖于n的上限。
对第二组的球,任取其中两个球 , 。考虑以 , , 作顶点的三角形。因 , 都和 相交,又 不在 , 之内,故有不等式
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欲证出此三角形以 为顶点的角 ,不小于一常数。可以假设 边长不大于 边长。如果 不在 内,则 边长大于 。若 边长不小于 边长,则 为三角形中最长的边,所以 不小于 。若 边长小于 边长,以平面几何可证得这情形时 不小于arccos(5/6)。如果 在 内,必有i < j,故 ,且 不在 内,因此 边长大于 。可证得这情形时 不小于arccos(61/64)。取上述下限的最小者,得出 的下限为arccos(61/64)。
因此将第二组各个的球的中心和 之间连成直线,则任意两条直线之间在 的夹角不小于arccos(61/64)。 为中心的单位球面上,这些直线中任何两条和球面的交点,其间的球面距离,等于直线间的夹角。直线间的夹角下限,就是交点间的球面距离下限。在单位球面上所能容纳的这样的点的数目,有一个只依赖维数n的上限,这也就是第二组球的数目上限。
和之前的球相交的数目上限,是以上两组的上限的和,于是这个上限只依赖于维数n。这个上限加1设为 。现在从 开始依次把球放到子集 内。轮到 时,因为之前的球中最多有 个和 相交,因此在 个子集 中,必定有至少一个所包含的球都不和 相交,于是可以把 加进这个子集。这样就得出了子集 ,满足条件
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对一般的A,设
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对每个正整数l,设
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将以上结果用到 和 上,得到子集 ,满足条件
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对 ,设 , ,并设 。那么 的球互不相交,且有
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因此定理得证。