维塔利覆盖引理

有限多球

在一个度量空间中有一族闭球${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ，则这一族球中存在互不相交的球${\displaystyle B_{i_{1}},\ldots ,B_{i_{m}}}$ ，适合条件

${\displaystyle B_{1}\cup \ldots \cup B_{n}\subset 3B_{i_{1}}\cup \ldots \cup 3B_{i_{m}}}$ 

${\displaystyle 3B_{i_{k}}}$ 表示和${\displaystyle B_{i_{k}}}$ 有相同中心，而半径是${\displaystyle B_{i_{k}}}$ 的三倍的球。

无限多球

在一个度量空间中有一族半径为正数的闭球${\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}}$ ，这族球的半径有有限的上界，即

${\displaystyle \sup _{I}\mathrm {rad} (B_{i})<\infty }$ 

则这一族球中存在互不相交的球${\displaystyle \{B_{i}:i\in I'\}}$ ，${\displaystyle I'\subset I}$ ，适合条件

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}B_{i}\subset \bigcup _{i\in I'}5B_{i}}$ 

${\displaystyle 5B_{i}}$ 表示和${\displaystyle B_{i}}$ 有相同中心，而半径是${\displaystyle B_{i}}$ 的五倍的球。

有限情形

取这一族球中半径最大的一个球${\displaystyle B_{i_{1}}}$ ，然后除去所有与${\displaystyle B_{i_{1}}}$ 相交的球。再从剩下的球中取半径最大的为${\displaystyle B_{i_{2}}}$ ，如此类推。那么任何其他的球必定因为和某个${\displaystyle B_{i_{k}}}$ 相交而被除去，这个球的半径不大于${\displaystyle B_{i_{k}}}$ ，因此包含在${\displaystyle 3B_{i_{k}}}$ 之内。

无限情形

设这一族球的半径的上确界为R。将这一族按半径分成子集${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$ ，j为正整数；${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$ 包含半径在区间${\displaystyle (R/2^{j},R/2^{j-1}]}$ 的球。依次取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\cdots }$ 如下：

1. 设${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}={\mathcal {F}}_{1}}$ 。取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ 为${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}}$ 内互不相交球的子集之中的极大者，即其他在${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}}$ 中的球都与这一子集中某个球相交。从佐恩引理知这样的${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ 存在，以下同。
2. 设已取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{k-1}}$ ，k为某大于1的整数。设${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}}$ 中不与${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\cup \cdots \cup {\mathcal {G}}_{k-1}}$ 中任何球相交的全部球的子集。取${\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}}$ 为${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}}$ 内互不相交球的子集之中的极大者。

设${\displaystyle {\mathcal {G}}=\bigcup _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{k}}$ 。任何其他的球B必在某一个${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}}$ 中，因此这个球与${\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}}$ 中一个球${\displaystyle B'}$ 相交，而${\displaystyle B'}$ 的半径大于B的半径的二分之一，故此B包含在${\displaystyle 5B'}$ 之内。

因为有无限多球时，可能不存在半径最大的球，所以在构造中，每一步选择的球的半径，只要求接近余下的球的半径的上确界。而结果中的5并非最佳常数。将${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$ 的定义中的${\displaystyle 2^{j},2^{j+1}}$ 的2换成任何大于1的数c，那么就可把结果中的5换成1+2c，即可以用任何大于3的数取代。不过由于未必有半径最大的球，以致不能像有限多球时用3取代，以下是一个简单例子。

例子

在平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 中，给出如下的一族球：对每个正整数n，${\displaystyle B_{n}}$ 是半径为${\displaystyle 2-1/n}$ 的闭球，若n为奇数，${\displaystyle B_{n}}$ 的圆心在${\displaystyle (2-1/n,0)}$ ；若n为偶数，则圆心在${\displaystyle (-2+1/n,0)}$ 。所有球都包含原点(0,0)，故任意两个球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一个球。这一族球的半径上确界是2，然而全部球的半径都小于2。若选任何一个${\displaystyle B_{n}}$ 为这个子集，因有半径更大的球${\displaystyle B_{n+1}}$ 在原点的另一侧，故此${\displaystyle 3B_{n}}$ 不覆盖${\displaystyle B_{n+1}}$ 。

这条引理用于证明哈代－李特尔伍德极大不等式。

• 贝西科维奇覆盖定理

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.