哈代-李特尔伍德极大函数

数学上,一个局部可积函数哈代-李特尔伍德(Hardy–Littlewood)极大函数在一点的值,是所有以该点为中心的上函数的平均值上确界

定义

对一个在 上定义的局部可积函数f,可定义其哈代-李特尔伍德极大函数Mf如下

 

Mf(x)可能是 。) 其中m 上的勒贝格测度

性质

Mf(x)是下半连续函数

证明

对任何 ,可假设Mf(x) > 0。(否则几乎处处f=0)

任意取0 < c < Mf(x)。从Mf定义知存在r > 0使得

 

存在 使得 。 对任何 ,有  所以

 

因此Mf是下半连续。

哈代-李特尔伍德极大不等式

 可积函数,对任何常数 ,有不等式

 

证明

对每个在集合 内的点x,都有 ,使得

 

K 内的紧集 K的一个开覆盖。因K紧致,存在有限子覆盖 。( 

维塔利覆盖引理,这有限子覆盖中存在子集 ,当中的开球两两不交,而且将这些开球的半径增至三倍后 可以覆盖K。于是

 

上式第四行的不等式使用了开球两两不交性质。从勒贝格测度的内正则性,集合 的测度等于在其内的所有紧集的测度的上确界,故有

 

应用

哈代-李特尔伍德极大不等式可以用来证明勒贝格微分定理

参考

  • Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.