因为这定理是关于函数的局部性质,不失一般性,可假设函数f定义在有界集合中,故f为可积函数。
定义
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那么这定理就是对几乎处处的x有Tf = 0。只需证对任何y > 0,集合{Tf > y}的测度为零。
对连续函数,这定理显然成立。连续函数在 中稠密,故此对任意正整数n,有连续函数g使得 。
令 。由于g连续,有Tg = 0。
用三角不等式有
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设 。(Mh为h的哈代-李特尔伍德极大函数。)从上式得
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因为 ,所以有
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若Tf > y,则有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此
由哈代-李特尔伍德极大不等式得
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由积分的基本性质有
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故得
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因此
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因为上式对所有正整数n成立,从而知m{Tf > y}=0。定理得证。