朗道分布

标准朗道分布的概率密度函数由以下复积分式表示，

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!e^{s\log s+xs}\,ds,}$ 

其中c为任意正实数，log 为自然对数。可以证明，上式结果与c的取值无关。在复平面上做围道积分，可得到便于计算的实积分式，

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!e^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$ 

上式即 ${\displaystyle \mu =0,\;c=\pi /2}$  的标准朗道分布概率密度函数。通过将标准朗道分布扩展到一个位置-尺度分布族，就可以获得完整的朗道分布族

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{e^{-ct}\cos \left((x-\mu )t+{\frac {2ct}{\pi }}\log {t}\right)\,dt}.}$ 

其特征函数可表示如下，

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \!\left(i\mu t-c|t|-{\frac {2ict}{\pi }}\log |t|\right),}$ 

两个实参数的取值范围 ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$ ，${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ ，调整 ${\displaystyle \mu ,\;c}$  分别实现朗道分布的平移和缩放^[2]。

从特征函数出发可以推导出：

• 平移：若 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)}$  则 ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)}$ 。
• 缩放：若 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)}$  则 ${\displaystyle aX\sim {\textrm {Landau}}(a\mu -2ac/\pi \cdot \log {a},\,ac)}$ 。
• 可加性：若 ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1},c_{1}),\,Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{2},c_{2})}$  则 ${\displaystyle X+Y\sim {\textrm {Landau}}(\mu _{1}+\mu _{2},\,c_{1}+c_{2})}$ 。

以上三条性质保证了朗道分布是一种稳定分布，它的稳定参数和偏度参数 ${\displaystyle \alpha =\beta =1}$ 。^[3]

当 ${\displaystyle \mu =0,\,c=1}$  时，朗道分布可以近似表示为^[4][5]

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(x+e^{-x})\right\}.}$