对数分布在概率论与统计学中,对数分布是一种离散概率分布形式,它也称为对数级数分布。 对数分布参数 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1\!} 值域 k ∈ { 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!} 概率质量函数 − 1 ln ( 1 − p ) p k k {\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}\!} 累积分布函数 1 + B p ( k + 1 , 0 ) ln ( 1 − p ) {\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}\!} 期望值 − 1 ln ( 1 − p ) p 1 − p {\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}\!} 众数 1 {\displaystyle 1} 方差 − p p + ln ( 1 − p ) ( 1 − p ) 2 ln 2 ( 1 − p ) {\displaystyle -p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)}}\!} 矩生成函数 ln ( 1 − p exp ( t ) ) ln ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}}\!} 特征函数 ln ( 1 − p exp ( i t ) ) ln ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}}\!} 对数分布是从−ln(1−p)的麦克劳伦级数展开 − ln ( 1 − p ) = p + p 2 2 + p 3 3 + ⋯ . {\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .} 派生出来的,因此 ∑ k = 1 ∞ − 1 ln ( 1 − p ) p k k = 1. {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.} 这样就可以直接导出呈Log(p)分布的随机变量在 k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} 且 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 时的概率集聚函数: f ( k ) = − 1 ln ( 1 − p ) p k k {\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}} 由于上面是单位值,所以这个分布已经进行了归一化。 累积分布函数位 F ( k ) = 1 + B p ( k + 1 , 0 ) ln ( 1 − p ) {\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)}}} 其中 B {\displaystyle \mathrm {B} } 是不完全贝塔函数。 罗纳德·费雪将这种分布应用在群体遗传学上。 参见 泊松分布(also derived from a Maclaurin series)