循环单位
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在趣味数学中,循环单位是由1组成的数如1, 11, 111, 1111等。
1966年,A.H. Beiler称这类数为repunit,表示repeated unit。
对于n≥1,循环单位可以这样定义:
亦可以用递归的方法:
其中是进位制的底。在这篇文章,循环单位都是指十进制中的。
循环单位的平方
至 的循环单位, 的平方有一个很有趣的性质,它们都会得出由1到 的数字顺序组成的回文数。例如十进制中的:
1×1 = 1 11×11 = 121 111×111 = 12321 1111×1111 = 1234321 11111×11111 = 123454321 111111×111111 = 12345654321 1111111×1111111 = 1234567654321 11111111×11111111 = 123456787654321 111111111×111111111=12345678987654321
而上述原则于十进制,只在 的情况下才能生效,因为在 的情况下, 的平方已经不能组成回文数。例如:
11111111111×1111111111 = 1234567900987654321 111111111111×11111111111 = 123456790120987654321 1111111111111×111111111111 = 12345679012320987654321 11111111111111×1111111111111 = 1234567901234320987654321 111111111111111×11111111111111 = 123456790123454320987654321 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321 11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321 ...
虽然在 的情况下, 的平方不能组成回文数,却有着固定的结构:
- 如果 ,前缀:123456790,后缀:0987654321
- 如果 ,前缀:123456790,中段:从1开始顺序数数,直至得出 与9的差,再倒数至2,后缀:0987654321
循环单位质数
当 能被大于1的 整除时, (例如 ),因此若 是质数, 必须是质数。
现在已知 时, 是质数,而 的 则可能是伪素数, 是目前已知最大的可能质数。
号码 | n | 年份 | 发现者 |
1 | 2 | - | - |
2 | 19 | - | - |
3 | 23 | - | - |
4 | 317 | 1978年 | Williams, Dubner |
5 | 1031 | 1986年 | Dubner |
6 | 49081 | 1999年 | Dubner |
7 | 86453 | 2000年 | Baxter |
8 | 109297 | 2007年 | Bourdelais, Dubner |
9 | 270343 | 2007年 | Voznyy, Budnyy |
10 | 5794777 | 2021年 | Batalov, Propper |
11 | 8177207 | 2021年 | Batalov, Propper |