高斯-卢卡斯定理

高斯-卢卡斯定理,又称卢卡斯定理,该定理描述了系数多项式的一个性质:多项式导数一定在原多项式的根所构成的凸包内。

这一结论曾在1836年被高斯直接使用,1874年由菲利克斯·卢卡斯英语Félix Lucas证明[1]

动机

二次多项式  的导数 的根为原多项式 的两个根的平均数。

同样地,如果一个  次多项式有   个两两不同的实值零点 ,根据罗尔定理,其导数的每个零点都位于区间  之中。

高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。

表述

设   是一个非常数的复系数多项式,那么 的所有根都属于由 的根构成的凸包。

证明

将多项式函数P写成复数下的不可约形式:  ,其中复数  是多项式的主系数、  是多项式的根、  为各个根的重数。

首先注意到:

 

假设复数 满足:

 

因此:

 

乘以共轭取模

 

写成如下形式:

 

此时,可以将 看成是 个位于  的质点的重心,因此在其构成的凸包内。

另一种 情况下的证明是显然的。

参考

  1. ^ Félix Lucas. Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations. C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. 1879, LXXXIX: 224–226. 

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