高斯-卢卡斯定理,又称卢卡斯定理,该定理描述了复系数多项式的一个性质:多项式导数的根一定在原多项式的根所构成的凸包内。
这一结论曾在1836年被高斯直接使用,1874年由菲利克斯·卢卡斯证明[1]。
动机
二次多项式 的导数 的根为原多项式 的两个根的平均数。
同样地,如果一个 次多项式有 个两两不同的实值零点 ,根据罗尔定理,其导数的每个零点都位于区间 之中。
高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。
表述
设 是一个非常数的复系数多项式,那么 的所有根都属于由 的根构成的凸包。
证明
将多项式函数P写成复数下的不可约形式: ,其中复数 是多项式的主系数、 是多项式的根、 为各个根的重数。
首先注意到:
假设复数 满足:
因此:
乘以共轭取模
写成如下形式:
此时,可以将 看成是 个位于 的质点的重心,因此在其构成的凸包内。
另一种 情况下的证明是显然的。
参考
相关定理
- Théorème de Marden
- 施图姆定理
- Conjecture d'Iliev-Sendov