施图姆定理

施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根的个数的方法。这个方法是以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆命名的。

施图姆定理与代数基本定理的一个区别是,代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数,把重根也计算在内,而施图姆定理则只涉及实根,且不把重根计算在内。

标准施图姆序列

我们首先从以下不含重根的多项式构造一个施图姆序列:

 

标准施图姆序列是把多项式长除法应用于 和它的导数 时,所得到的中间结果的序列。

标准施图姆序列由以下公式计算:

 

也就是说,序列中每一项都是前两项相除所得的余数,并将其变号。由于当 时, ,因此这个序列最终要停止。最后一个多项式, ,就是 和它的导数的最大公因式。由于 没有重根,因此 是一个常数。于是,标准施图姆序列为:

 

表述

 为以下序列中符号变化的次数(零不计算在内):

 

其中 是不含重根的多项式。于是,施图姆定理说明,对于两个实数 ,开区间 中的不同根的个数为 

应用

通过恰当选择 ,这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如,柯西发现的一个定理说明,系数为 的多项式的所有实根都在区间 内,其中:

 

除此以外,我们还可以利用下列事实:对于很大的正数 ,以下多项式的符号

 

 ,而 则是 

用这种方法,仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化,就可以得出多项式的不同实根的个数。

通过施图姆定理的帮助,我们还可以决定某个给定根(例如 )是几重根。确实,假设我们知道  内,且 。那么,  重根正好当   重根时(这是因为它是 和它的导数的最大公因式)。

一般的施图姆序列

  上的施图姆序列,是实系数多项式   的一个有限序列 ,使得:

  1.    上没有根
  2.  
  3. 如果对于 ,那么 
  4. 若对于  ,则存在 ,使得  时,   

我们可以验证每一个标准施图姆序列确实是如上定义的施图姆序列。

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参考资料

  • D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

外部链接