劳斯–赫尔维茨稳定性判据

劳斯–赫尔维茨稳定性判据和劳斯–赫尔维茨定理（英语：Routh–Hurwitz theorem）有关。由定理的陈述，可得${\displaystyle p-q=w(+\infty )-w(-\infty )}$ 其中：

• p为多项式ƒ(z)的根中实部为负值的个数。
• q为多项式ƒ(z)的根中实部为正值的个数。（此假设ƒ(z)的根都不在虚轴上）
• w(x)为由 ${\displaystyle P_{0}(y)}$ 及${\displaystyle P_{1}(y)}$ 由施图姆定理得到的变号数（中间利用连续的辗转相除法），其中${\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$ ，y为实数。

根据代数基本定理，每个n次的多项式在复数平面上会有n 个根（也就是，对于根都不在虚轴上的ƒ，p + q = n）。因此可得到ƒ为（稳定的）赫尔维茨多项式当且仅当p − q = n。利用劳斯–赫尔维茨定理，可以将p和q的条件改为以广义施图姆链组成的条件，也就是以ƒ的系数组合而成的条件。

令 f(z) 为一个复多项式。过程如下：

1. 计算多项式 ${\displaystyle P_{0}(y)}$  和 ${\displaystyle P_{1}(y)}$  使得 ${\displaystyle f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)}$  其中 y 为一实数。
2. 计算与 ${\displaystyle P_{0}(y)}$  和 ${\displaystyle P_{1}(y)}$  相关的西尔维斯特矩阵。
3. 重新排列每一行，让奇数行和其下一行起始地零数量相同。
4. 计算该矩阵的每个主子式。
5. 如果这些子式中至少一个为负（或零），则多项式 f 是不稳定的。

范例

• 令 ${\displaystyle f(z)=az^{2}+bz+c}$  (为了简单起见，此处取实系数），其中 ${\displaystyle c\neq 0}$ （为了避免一根为零，可以利用劳斯–赫尔维茨定理）。首先，要计算实多项式 ${\displaystyle P_{0}(y)}$  与 ${\displaystyle P_{1}(y)}$ ：

${\displaystyle f(iy)=-ay^{2}+iby+c=P_{0}(y)+iP_{1}(y)=-ay^{2}+c+i(by).}$ 

接下来，将多项式辗转相除来得到广义施图姆链：

• ${\displaystyle P_{0}(y)=((-a/b)y)P_{1}(y)+c,}$  得到 ${\displaystyle P_{2}(y)=-c,}$ 
• ${\displaystyle P_{1}(y)=((-b/c)y)P_{2}(y),}$  得到 ${\displaystyle P_{3}(y)=0}$ ，于是辗转相除法结束。

注意在第一次除法中，必须假设 b 不为零。在此情形下，广义施图姆链为 ${\displaystyle (P_{0}(y),P_{1}(y),P_{2}(y))=(c-ay^{2},by,-c)}$ 。令 ${\displaystyle y=+\infty }$ ，${\displaystyle c-ay^{2}}$  的符号与 a 相反，而 by 的符号与 b 相同。当令 ${\displaystyle y=-\infty }$  时，该链的第一部分符号也与 a 相反，而 by 的符号与 b 相反。最终，-c 的符号总与 c 相反。

现在假设 f 是赫尔维茨稳定的。这意味着 ${\displaystyle w(+\infty )-w(-\infty )=2}$ （f 的阶数）。由函数 w 的性质，这与 ${\displaystyle w(+\infty )=2}$  及 ${\displaystyle w(-\infty )=0}$  相同。因此，a, b 和 c 必须符号相同。因此找到了二阶多项式稳定的必要条件.

二阶、三阶、四阶多项式的劳斯–赫尔维茨判据

在下面，假设最高阶的系数（例如二阶多项式中的 ${\displaystyle a_{2}}$ ）为正。如果有必要，总可以将该多项式乘以 ${\displaystyle -1}$  得到。

• 对于二阶多项式 ${\displaystyle P(s)=a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$ ，如果所有系数都满足 ${\displaystyle a_{n}>0}$ ，则所有根都在左半平面（特征方程为 ${\displaystyle P(s)}$  的系统稳定）.
• 对于三阶多项式 ${\displaystyle P(s)=a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$ ，所有系数都满足 ${\displaystyle a_{n}>0}$ ，并且 ${\displaystyle a_{2}a_{1}>a_{3}a_{0}}$ 
• 对于四阶多项式 ${\displaystyle P(s)=a_{4}s^{4}+a_{3}s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}=0}$ ，所有系数都满足 ${\displaystyle a_{n}>0}$ ，并且 ${\displaystyle a_{3}a_{2}>a_{4}a_{1}}$  且 ${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}>a_{4}a_{1}^{2}+a_{3}^{2}a_{0}}$ 
• 一般地，劳斯稳定性判据要求劳斯表的第一列所有元素符号相同。

满足上述判据的系统称为闭环稳定系统，否则会由于第一列元素符号改变而不稳定。

高阶的例子

当难以求得高阶特征多项式的根的时候，可以用表格的方法来确定稳定性。对一个 n 阶多项式

• ${\displaystyle D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}$ 

该表格由 n + 1 行，结构如下：

其中元素 ${\displaystyle b_{i}}$  和 ${\displaystyle c_{i}}$  可以计算如下：

• ${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-2i-1}}}{a_{n-1}}}.}$ 
• ${\displaystyle c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-2i-1}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.}$ 

算完之后，第一列中的符号数的变化将是非负极点的数目。

在第一列中，有2个符号的变化（0.75 → −3，以及 −3 → 3），因此，有2个非负的根，系统是不稳定的。

有时虚轴上的极点会造成临界稳定的情形。在那种情形中，“劳斯表”的系数一整行都会变为零，因而不能进一步求解出符号的改变了。然后另一种方法可以发挥作用。含有零的这一行的上面一行叫做“辅助多项式”。

• ${\displaystyle s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16=0.\,}$ 

可得以下的表格：

在这个例子中，辅助多项式为 ${\displaystyle A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16.\,}$  仍为零。下一步是对上面的方程求导，得到下面的多项式。${\displaystyle B(s)=8s^{3}+24s^{1}}$ 。包含零的行现在变为 "8" 和 "24"。使用这些值继续建立劳斯表，就会得出虚轴上的两个点。这两个虚轴上的点是边缘稳定性的主要原因。^[4]

• 控制工程
• 劳斯阵列的推导
• 奈奎斯特稳定判据
• 劳斯–赫尔维茨定理（英语：Routh–Hurwitz theorem）
• 根轨迹图
• 传递函数
• Jury稳定性判据
• Bistritz稳定性判据（英语：Bistritz stability criterion）
• 哈利托诺夫定理
• 林纳德–奇帕特判据

• Felix Gantmacher (J.L. Brenner translator) (1959) Applications of the Theory of Matrices, pp 177–80, New York: Interscience.
• Pippard, A. B.; Dicke, R. H. Response and Stability, An Introduction to the Physical Theory. American Journal of Physics. 1986, 54 (11): 1052 [2008-05-07]. Bibcode:1986AmJPh..54.1052P. doi:10.1119/1.14826. （原始内容存档于2016-05-14）. 
• Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. Modern Control Systems 9th. Prentice Hall. 2001. ISBN 0-13-030660-6. 
• Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. Analytic theory of polynomials. London Mathematical Society Monographs. New Series 26. Oxford: Oxford University Press. 2002. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006. 
• Weisstein, Eric W. Routh-Hurwitz Theorem.. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2015-11-03]. （原始内容存档于2022-07-20）. 

• A MATLAB script implementing the Routh-Hurwitz test （页面存档备份，存于互联网档案馆）