稳定多项式

• 劳斯–赫尔维茨定理（英语：Routh-Hurwitz theorem）提供了判断多项式是否为赫尔维茨稳定的算法，是用劳斯–赫尔维茨稳定性判据及林纳德–奇帕特判据来实现。
• 若要测试某多项式P（次数为d）是否为舒尔稳定，将上述定理用在以下转换后的多项式中

${\displaystyle Q(z)=(z-1)^{d}P\left({{z+1} \over {z-1}}\right)}$ 

是在莫比乌斯变换 ${\displaystyle z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}}$ 后的结果，将左半平面映射到开集的单位圆内。P为舒尔稳定，当且仅当Q为赫尔维茨稳定而且${\displaystyle P(1)\neq 0}$ 。针对高次的多项式可以用其他的测验方式（例如Schur-Cohn测试、Jury稳定性判准（英语：Jury stability criterion）或是Bistritz稳定性判准（英语：Bistritz stability criterion））来判定，可以避免映射上的复杂计算。

• 必要条件：（实系数的）赫尔维茨稳定多项式其系数符号都相同（均为正数或是均为负数）。
• 充份条件：（实系数的）多项式${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}}$ 若满足以下条件：:${\displaystyle a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,}$ 

则多项式为舒尔稳定。

• 乘积律：二个（同样考虑赫尔维茨稳定或舒尔稳定）多项式f及g都稳定的充份必要条件为其乘积fg稳定。

• ${\displaystyle 4z^{3}+3z^{2}+2z+1}$ 为舒尔稳定，因为满足充份条件。
• ${\displaystyle z^{10}}$ 为舒尔稳定（因为所有的根都为零），但不满足充份条件。
• ${\displaystyle z^{2}-z-2}$ 不是赫尔维茨稳定（其根为-1,2），因为其违反了必要条件。
• ${\displaystyle z^{2}+3z+2}$ 是赫尔维茨稳定（其根为-1,-2）。
• 多项式 ${\displaystyle z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1}$ （都是正系数），既不是赫尔维茨稳定，也不是舒尔稳定，其根为5次单位根中的4个原根

${\displaystyle z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\,k=1,\ldots ,4\ .}$ 

注意

${\displaystyle \cos({{2\pi }/5})={{{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.}$ 

这是舒尔稳定的临界情形，因为根恰好在单位圆上，也看到上述的赫尔维茨稳定条件（根均为正）只是必要条件，不是充份条件。

• Mathworld page （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• 稳定性判据
• 稳定半径（英语：Stability radius）