希尔微分方程

希尔微分方程或是希尔方程是指以下的二阶常微分方程

其中f(t)周期函数[1]

希尔微分方程得名自1886年发现此方程的天文学家乔治·希尔[2]

一般会假设f(t)的周期为π,则希尔方程可以改写为f(t)的傅里叶级数:

希尔方程中特殊的例子有马丢方程(只对应n = 0, 1的情形)以及Meissner方程英语Meissner equation

在研究周期微分方程时,希尔微分方程是重要的范例。依照f(t)的不同,其解可能一直是有界的,也有可能其振荡的振幅会指数成长[3]。Hill微分方程的准确解可以由弗洛凯理论描述。其解也可以用Hill行列式表示。

希尔微分方程最早是应用在月球稳定性的研究,不过后来也用在许多其他的领域,包括四极杆质量分析器英语quadrupole mass spectrometer的建模,像是晶体中电子的一维薛定谔方程等。

参考资料

  1. ^ Magnus, W.; Winkler, S. Hill's equation. Courier. 2013. ISBN 9780486150291. 
  2. ^ Hill, G.W. On the Part of the Motion of Lunar Perigee Which is a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon. Acta Math. 1886, 8 (1): 1–36. doi:10.1007/BF02417081. 
  3. ^ Teschl, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. 2012 [2016-12-10]. ISBN 978-0-8218-8328-0. (原始内容存档于2012-06-26). 

外部链接