匹配渐近展开法

考虑边值问题

${\displaystyle \epsilon y''+(1+\epsilon )y'+y=0,}$ 

其中${\displaystyle y}$ 为时间${\displaystyle t}$ 的函数，定义域从0到1，边界条件为${\displaystyle y(0)=0}$ 与${\displaystyle y(1)=1}$ 。${\displaystyle \epsilon }$ 是一个小参数，满足${\displaystyle 0<\epsilon \ll 1}$ 。

外解（t = O(1)）

由${\displaystyle \epsilon }$ 十分小，故可以当作正则摄动问题处理。取${\displaystyle \epsilon =0}$ ，有

${\displaystyle y'+y=0.\,}$ 

该方程的解为

${\displaystyle y=Ae^{-t}\,}$ 

其中${\displaystyle A}$ 为常数。使用边界条件${\displaystyle y(0)=0}$ ，有${\displaystyle A=0}$ 。而如果使用另一个边界条件${\displaystyle y(1)=1}$ ，则有${\displaystyle A=e}$ 。这说明该解不可能满足所有边界条件，意味着${\displaystyle \epsilon =0}$ 的假设不能在整个定义域中都适用（即奇异摄动问题）。于是，我们能够知道定义域中必定存在一个边界层，其中${\displaystyle \epsilon }$ 与自变量${\displaystyle t}$ 相比不能再忽略不计。这个边界层位于${\displaystyle t=0}$ 一侧。于是我们使用另一个边界条件${\displaystyle y(1)=1}$ 得到适用于边界层以外区域的外解${\displaystyle y_{O}=e^{1-t}\,}$ 。

内解（t = O(ε））

在边界层之内，${\displaystyle t}$ 与${\displaystyle \epsilon }$ 都很小，但它们大小相若，故可以定义一个新的O(1) 时间变量${\displaystyle \tau =t/\epsilon }$ 。于是原先的边值问题可以改写为

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon }}y''(\tau )+\left({1+\epsilon }\right){\frac {1}{\epsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,\,}$ 

将两边同乘${\displaystyle \epsilon }$ 再取${\displaystyle \epsilon =0}$ ，得到

${\displaystyle y''+y'=0.\,}$ 

该方程的解为

${\displaystyle y=B-Ce^{-\tau }\,}$ 

其中${\displaystyle B}$ 与${\displaystyle C}$ 为常数。使用边界层内的边界条件${\displaystyle y(0)=0}$ ，得到${\displaystyle B=C}$ 。故内解为

${\displaystyle y_{I}=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right).\,}$ 

匹配

由于对于中间大小的${\displaystyle t}$ （${\displaystyle \epsilon \ll t\ll 1}$ ）需同时满足内解和外解，故可以令内解的外极限与外解的内极限相等，即${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }y_{I}=\lim _{t\to 0}y_{O}\,}$ 。由此得到常数${\displaystyle B=e}$ 。

合并

最后，将匹配好的内解与外解合并，以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言，即是将内解与外解相加，再减去内、外解重合部分的值${\displaystyle \,y_{\mathrm {overlap} }}$ （即外解的内极限，或内解的外极限）。此问题中，重合部分的值为${\displaystyle e}$ 。故可以得到原边值问题的最终近似解为

${\displaystyle y(t)=y_{I}+y_{O}-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\epsilon }}\right).\,}$