外共变导数

数学中,外共变导数exterior covariant derivative),时或称为共变外导数covariant exterior derivative),是流形上的微积分英语calculus on manifolds中一个非常有用的概念,它可能将利用主联络的公式化简。

PM光滑流形 M 上一个G-丛。如果 P 上一个张量性 k-形式,则其外共变导数定义为:

这里 h 表示到水平子空间的投影, 由联络定义,其为该纤维丛全空间切丛的 铅直子空间)。这里 P 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。

不像通常的外导数的平方是 0,我们有

这里 表示曲率形式。特别的 平坦联络消没。

物理学

若A是联络形式、f是函数,则外共变导数

 

 是矩阵函数(E是主丛;例如,属于G的李代数),则外共变导数

 

而且,若F是曲率形式,则

 

比安基恒等式

 

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参考文献

  • Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157333. 
  • Baez. Gauge fields, Knots, Gravity.
  • Zee (徐一鸿). QFT in Nutshell.
  • Michael Nielsen. Intro to YM. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf页面存档备份,存于互联网档案馆