外共变导数
在数学中,外共变导数(exterior covariant derivative),时或称为共变外导数(covariant exterior derivative),是流形上的微积分中一个非常有用的概念,它可能将利用主联络的公式化简。
设 P → M 是光滑流形 M 上一个主 G-丛。如果 是 P 上一个张量性 k-形式,则其外共变导数定义为:
这里 h 表示到水平子空间的投影, 由联络定义,其核为该纤维丛的全空间切丛的 (铅直子空间)。这里 是 P 上任何向量场。Dφ 是 P 上一个张量性 k+1 形式。
不像通常的外导数的平方是 0,我们有
这里 表示曲率形式。特别的 对平坦联络消没。
物理学
若A是联络形式、f是函数,则外共变导数是
若 是矩阵函数(E是主丛;例如,属于G的李代数),则外共变导数是
而且,若F是曲率形式,则
比安基恒等式是
相关条目
- 外联络
- 杨-米尔斯场论
- 陈-西蒙斯形式
参考文献
- Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157333.
- Baez. Gauge fields, Knots, Gravity.
- Zee (徐一鸿). QFT in Nutshell.
- Michael Nielsen. Intro to YM. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf (页面存档备份,存于互联网档案馆)