令 G 为一个李群,记 G 的李代数为 。设 为一个主 G-丛。令 表示 E 上一个埃雷斯曼联络(它是一个E上的 g-值 1-形式)。
那么曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式,定义为
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这里 表示标准外导数, 是李括号,而 D 表示外共变导数。或者说
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向量丛上的曲率形式
若 是一个纤维丛,其结构群为 G,我们可以在相伴的主 G-丛上重复同样的定义。
若 是一个向量丛则我们可以把 看作是 1-形式的矩阵,则上面的公式取如下形式:
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其中 是楔积。更准确地讲,若 和 分别代表 和 的分量(所以每个 是一个通常的 1-形式而每个 是一个普通的2-形式),则
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例如,黎曼流形的切丛,我们有 作为结构群而 是在 中取值的 2-形式(给定标准正交基,可以视为反对称矩阵)。在这种情况, 是曲率张量的一种替换表述,也就是在曲率张量的标准表示中,我们有
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上式使用了黎曼曲率张量标准记号。