测地曲率

• 曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C'）的曲率。

• ${\displaystyle k^{2}=k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}$ 

式中，k为曲线在P点的曲率，${\displaystyle k_{n}}$ 为曲线在P点的法曲率。

今有一紧致定向的二维曲面S，其线元素可用曲面的第一基本形式的系数表示为：${\displaystyle ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,}$ ，则其度量张量可表成下列关系式：

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\\\end{pmatrix}}}$ 

每当进行涉及到微分几何的实用演算时，都会用到其分量形式以利细部计算，因此有必要将前述向量形式定义的测地曲率以其分量形式来表征，以下将界定在二维曲面上局部范围，有关公式及其推导过程，可于列出的相关参考文献中找到。

二维曲面测地曲率之Beltrami公式

令${\displaystyle C}$ 为曲面S上的一正则曲线，在此曲线上以其弧长${\displaystyle s}$ 为参数，则曲线${\displaystyle C}$ 的参数方程式为${\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))}$ ，则它在P点的测地曲率${\displaystyle k_{g}}$ 可表为下列克氏符号（全称克里斯多福符号，Christoffel symbols）相关的表示式^[1][2][3]：

${\displaystyle k_{g}={\sqrt {EG-F^{2}}}\left[\Gamma _{11}^{2}\left({\frac {du}{ds}}\right)^{3}+\left(2\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\right)\left({\frac {du}{ds}}\right)^{2}{\frac {dv}{ds}}+\left(\Gamma _{22}^{2}-2\Gamma _{12}^{1}\right){\frac {du}{ds}}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{2}-\Gamma _{22}^{1}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{3}+{\frac {du}{ds}}{\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{ds^{2}}}{\frac {dv}{ds}}\right]}$ 

上述用克式符号表示测地曲率的一般公式即是所谓的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)^[4]。这里所用的克氏符号 Γk
ij 在有些书籍还会沿用旧式的 {k
ij}符号注记。由于克式符号属曲面的内蕴性质，而上述测地曲率一般公式只和克式符号与曲面第一基本形式有关，因此，测地曲率必然是属曲面的内蕴几何量^[5]。

今若曲线${\displaystyle C}$ 是沿着${\displaystyle u=(s)}$ 座标线的话，此时${\displaystyle v=}$ 常数，使得${\displaystyle dv/ds=0}$ 以及${\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {g_{11}}}}$ ，那么其测地曲率可算得为：

${\displaystyle (k_{g})_{u-line}=\Gamma _{11}^{2}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{E{\sqrt {E}}}}=\Gamma _{11}^{2}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{11}^{3/2}}}\right)}$ 

同理，假如曲线${\displaystyle C}$ 是沿着${\displaystyle v=(s)}$ 座标线的话，使得${\displaystyle u=}$ 常数，因此${\displaystyle du/ds=0}$ 以及${\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {g_{22}}}}$ ，那么其测地曲率可化简为：

${\displaystyle (k_{g})_{v-line}=-\Gamma _{22}^{1}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{G{\sqrt {G}}}}=-\Gamma _{22}^{1}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{22}^{3/2}}}\right)}$ 

二维曲面测地曲率之Liouville公式

令${\displaystyle C}$ 为曲面S上的一正则曲线，在此曲线上以其弧长${\displaystyle s}$ 为参数，则曲线${\displaystyle C}$ 的参数方程式为${\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))}$ ，今其参数化是采正交座标系，换言之，第一基本形式的系数${\displaystyle F=0}$ ，又令曲线${\displaystyle C}$ 在P点与${\displaystyle u}$ 座标线的夹角为${\displaystyle \theta }$ ，则它在P点的测地曲率${\displaystyle k_{g}}$ 可表为下列与${\displaystyle \theta (s)}$ 夹角相关的Liouville公式^[6][7][8]：

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{g}&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}-{\dfrac {1}{2{\sqrt {G}}}}{\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2{\sqrt {E}}}}{\dfrac {\partial \ln G}{\partial u}}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}\cos \theta +(k_{g})_{v-line}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}{\sqrt {E}}{\dfrac {du}{ds}}+(k_{g})_{v-line}{\sqrt {G}}{\dfrac {dv}{ds}}\end{aligned}}}$ 

上述公式中的${\displaystyle (k_{g})_{u-line}}$ 与${\displaystyle (k_{g})_{v-line}}$ 乃分属于两个座标线对应的测地曲率，至于它们的具体表征是什么，接下来将分别推导出其详细内容。首先，考量如若曲线${\displaystyle C}$ 是沿着${\displaystyle u=(s)}$ 座标线的话，此时${\displaystyle v=}$ 常数，则有${\displaystyle dv/ds=0}$ 以及${\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {E}}}$ ，那么该测地曲率可算得为：

${\displaystyle (k_{g})_{u-line}=-{\dfrac {E_{v}}{2E{\sqrt {G}}}}}$ 

同理，假如曲线${\displaystyle C}$ 是沿着${\displaystyle v=(s)}$ 座标线的话，此时${\displaystyle u=}$ 常数，导致${\displaystyle du/ds=0}$ 以及${\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {G}}}$ ，那么此测地曲率可算得为：

${\displaystyle (k_{g})_{v-line}={\dfrac {G_{u}}{2G{\sqrt {E}}}}}$ 

以上测地曲率之Liouville公式就已列出有三种，若觉得怎么会有这么多样形式，其实还有其他变形，例如可参考网络上更加精简且优美的形式^[9]，这端赖解析问题时，需要配套什么形式的公式而定。