庞特里亚金最大化原理

此定理一开始的名称是庞特里亚金最大化原理（Pontryagin's maximum principle），其证明也是以控制哈密顿量最大化为基础。此原理最早的应用是要最大化火箭的终端速度。不过后来此定理大部分的应用是使性能指标最小化，因此常称为庞特里亚金最小化原理。庞特里亚金的书解出了要让性能指标最小化的问题^[3]

以下的内容会使用这些表示方式

${\displaystyle \Psi _{T}(x(T))={\frac {\partial \Psi (x)}{\partial T}}|_{x=x(T)}\,}$ 

${\displaystyle \Psi _{x}(x(T))={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{1}}}|_{x=x(T)}&\cdots &{\frac {\partial \Psi (x)}{\partial x_{n}}}|_{x=x(T)}\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle H_{x}(x^{*},u^{*},\lambda ^{*},t)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}&\cdots &{\frac {\partial H}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*},\lambda =\lambda ^{*}}\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle L_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$ 

${\displaystyle f_{x}(x^{*},u^{*})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}&\ldots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}|_{x=x^{*},u=u^{*}}\end{bmatrix}}}$ 

以下是让泛函最小化的必要条件。令${\displaystyle x}$ 为在输入为${\displaystyle u}$ 时，动态系统的状态，且满足以下条件

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\quad x(0)=x_{0},\quad u(t)\in {\mathcal {U}},\quad t\in [0,T]}$ 

其中

${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 为可行控制的集合

${\displaystyle T}$ 为系统的结束时间。

控制${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$ 需在所有${\displaystyle t\in [0,T]}$ 内使目标泛函${\displaystyle J}$ 最小化，目标泛函${\displaystyle J}$ 随应用而定，可以写成

${\displaystyle J=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L(x(t),u(t))\,dt}$ 

系统动态的限制可以用导入时变拉格朗日乘数向量${\displaystyle \lambda }$ 的方式和${\displaystyle L}$ 相加，而拉格朗日乘数向量${\displaystyle \lambda }$ 的元素称为系统的协态（costate）。因此可以建构在所有 ${\displaystyle t\in [0,T]}$ 的哈密顿量为：

${\displaystyle H(x(t),u(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f(x(t),u(t))+L(x(t),u(t))\,}$ 

其中${\displaystyle \lambda ^{\rm {T}}}$ 是${\displaystyle \lambda }$ 的转置。

庞特里亚金最小化原理提到最佳状态轨迹${\displaystyle x^{*}}$ ，最佳控制${\displaystyle u^{*}}$ 及对应的拉格朗日乘数向量${\displaystyle \lambda ^{*}}$ 必需最小化哈密顿量${\displaystyle H}$ ，因此

${\displaystyle (1)\qquad H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t)\leq H(x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t)\,}$ 

针对所有${\displaystyle t\in [0,T]}$ 时间，也针对所有可能的控制输入${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$ 。以下的式子也必须成立

${\displaystyle (2)\qquad \Psi _{T}(x(T))+H(T)=0\,}$ 

而且也要满足以下的协态方程

${\displaystyle (3)\qquad -{\dot {\lambda }}^{\rm {T}}(t)=H_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda (t),t)=\lambda ^{\rm {T}}(t)f_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))+L_{x}(x^{*}(t),u^{*}(t))}$ 

若最终状态${\displaystyle x(T)}$ 没有固定（其微分变异不为0），最终协态也要满足以下条件

${\displaystyle (4)\qquad \lambda ^{\rm {T}}(T)=\Psi _{x}(x(T))\,}$ 

上述(1)-(4)的条件是最佳控制的必要条件。公式(4)只有在${\displaystyle x(T)}$ 没有固定时才需要成立。若${\displaystyle x(T)}$ 是固定值，公式(4)不在必要条件中。

此解法可以应用在宇宙学和天体物理学中 ^[4]。

• 巴拿赫空间下的拉格朗日乘数（英语：Lagrange multipliers on Banach spaces），变分法下中的拉格朗日法
• 奇异控制：无法利用庞特里亚金最小化原理求出完整解的最优控制问题。

• Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Pontryagin, L. S. К теории оптимальных процессов [Towards a Theory of Optimal Processes]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1956, 110 (1): 7–10. MR 0084444 （俄语）. 
• Pontryagin, L. S.; Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Mishchenko, E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. English translation. Interscience. 1962. ISBN 2-88124-077-1. 
• Fuller, A. T. Bibliography of Pontryagin's maximum principle. J. Electronics & Control. 1963, 15 (5): 513–517. 
• Kirk, D. E. Optimal Control Theory: An Introduction. Prentice Hall. 1970. ISBN 0-486-43484-2. 
• Sethi, S. P.; Thompson, G. L. Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics 2nd. Springer. 2000. ISBN 0-387-28092-8.  Slides are available at [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Geering, H. P. Optimal Control with Engineering Applications. Springer. 2007. ISBN 978-3-540-69437-3. 
• Ross, I. M. A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control. Collegiate. 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9. 
• Cassel, Kevin W. Variational Methods with Applications in Science and Engineering. Cambridge University Press. 2013. 

• Hazewinkel, Michiel (编), Pontryagin maximum principle, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4