有界变差有界变差(英语:Bounded variation)是函数的一个性质,它指的是总变差为有限的函数。 有界变差的理论对黎曼-斯蒂尔杰斯积分有相当的用处。 目录 1 定义 2 性质 3 参见 4 参照 定义 设 Δ f ( x i ) = f ( x i ) − f ( x i − 1 ) {\displaystyle \Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1})} ,若一个定义于实数区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的函数 f {\displaystyle f} 是有界变差函数,则存在一正数 M {\displaystyle M} ,对任意在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的(有限)分割 P = { a = x 0 , x 1 , . . . . . , x n = b } {\displaystyle P=\{a=x_{0},x_{1},.....,x_{n}=b\}} 而言,有 ∑ i = 1 n | Δ f ( x i ) | ≤ M {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M} 。 另一个等价的定义为:定义一个跟函数 f : [ a , b ] ↦ R {\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} } 相关的量如下: V a b ( f ) = sup { ∑ i = 0 n P − 1 | f ( x i + 1 ) − f ( x i ) | : P ∈ P } , {\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{}\left\{\;\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|\,:\,P\in {\mathcal {P}}\right\},\;} 这里的符号 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 代表在闭区间 [a, b] 上所有的(有限)分割。 f {\displaystyle f} 为有界变差函数当且仅当 V a b ( f ) < ∞ {\displaystyle V_{a}^{b}(f)<\infty } 。其定义可推广至复数域乃至于任何的欧几里德空间上。 性质 任意单调函数都是有界变差的。 设 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上满足Lipschitz条件,即存在常数 K > 0 {\displaystyle K>0} ,使得对于任意 x ′ , x ″ {\displaystyle x',x''} ,有 | f ( x ′ ) − f ( x ″ ) | ≤ K | x ′ − x ″ | {\displaystyle |f(x')-f(x'')|\leq K|x'-x''|} ,则 f {\displaystyle f} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上是有界变差的。 若 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续,且在区间的内部 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 可微,若对于任意在 f {\displaystyle f} 定义域 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的内部 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 的点 x {\displaystyle x} 而言,存在一正实数 A {\displaystyle A} 使得 | f ′ ( x ) | ≤ A {\displaystyle |f'(x)|\leq A} ,则 f {\displaystyle f} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上是有界变差的。 若 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上是有界变差的,则 f {\displaystyle f} 在该区间上亦是有界的。 若 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上是有界变差的,则其不连续点的数量是可数的。参见 总变差参照 T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition. http://eom.springer.de/V/v096110.htm (页面存档备份,存于互联网档案馆)