有界变差

有界变差(英语:Bounded variation)是函数的一个性质,它指的是总变差为有限的函数

有界变差的理论对黎曼-斯蒂尔杰斯积分有相当的用处。

定义

 ,若一个定义于实数区间   上的函数 有界变差函数,则存在一正数  ,对任意在区间  上的(有限)分割  而言,有  

另一个等价的定义为:定义一个跟函数   相关的量如下:

 

这里的符号   代表在闭区间 [a, b] 上所有的(有限)分割。

 为有界变差函数当且仅当  

其定义可推广至复数域乃至于任何的欧几里德空间上。


性质

  • 任意单调函数都是有界变差的。
  •  在区间 上满足Lipschitz条件,即存在常数 ,使得对于任意 ,有 ,则  上是有界变差的。
  •  在区间 上连续,且在区间的内部 可微,若对于任意在 定义域 的内部 的点 而言,存在一正实数 使得 ,则  上是有界变差的。
  •  在区间 上是有界变差的,则 在该区间上亦是有界的。
  •  在区间 上是有界变差的,则其不连续点的数量是可数的。

参见

参照