阿依热尔曼猜想

考虑一个系统，其中包括一个标量非线性的函数

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$ 

其中P是常数n×n矩阵、q和r是常数n维向量、∗ 是转置算子、f(e)是标量函数，且 f(0)=0。假设非线性函数f是有扇型区间的上下限，也就是存在实数${\displaystyle k_{1}}$ 及${\displaystyle k_{2}}$ ，满足${\displaystyle k_{1}<k_{2}}$ ，且函数${\displaystyle f}$ 满足

${\displaystyle k_{1}<{\frac {f(e)}{e}}<k_{2},\quad \forall \;e\neq 0.}$ 

阿依热尔曼猜想就是指此系统在全域稳定（有唯一稳定点，而且是全域吸引子）若所有在f(e)=ke, k ∈(k1,k2)下的线性系统都是渐近稳定。

存在阿依热尔曼猜想的反例，非线性函数在线性稳定的范围内，且系统除了唯一的稳定平衡点外，还有稳定的周期解—隐蔽振荡。^[2][3][4][5]

卡尔曼猜想是强化版本的阿依热尔曼猜想，在非线性回授的部分要求回授的微分需在线性稳定区间内，结果也存在反例。

• Atherton, D.P.; Siouris, G.M. Nonlinear Control Engineering. Systems, Man and Cybernetics, IEEE Transactions on. 1977, 7 (7): 567–568 [2008-06-30]. doi:10.1109/TSMC.1977.4309773. （原始内容存档于2019-07-13）. 

• Counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjectures and describing function method (PDF). [2019-04-04]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）.