费马原理

费马原理更正确的版本应是“平稳时间原理”。对于某些状况，光线传播的路径所需的时间可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。^[1]

• 平面镜：任意两点的反射路径光程是最小值。
• 半椭圆形镜子：其两个焦点的光线反射路径不是唯一的，光程都一样，是最大值，也是最小值。
• 半圆形镜子：其两个端点Q、P的反射路径光程是最大值。
• 如最右图所示，对于由四分之一圆形镜与平面镜组合而成的镜子，同样这两个点Q、P的反射路径的光程是拐值。

平面反射

光从P点出发射向x点，反射到Q点。

P 点到 x点的距离 ${\displaystyle d1={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$ 

Q 点 到 x 点的距离 ${\displaystyle d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}$ 

从点P到点Q的光程 D 为

${\displaystyle D={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}$  。

根据费马原理，光线在真空中传播的路径是光程为极值的路径。

取光程 ${\displaystyle D}$  对 ${\displaystyle x}$  的导数，令其为零：

${\displaystyle D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}$ ${\displaystyle +{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=0}$  。

但其中

${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$ 

${\displaystyle -{\frac {l-x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=-\sin \theta _{2}}$  。

即

${\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}$ 

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}}$ 

这就是反射定律

半球面反射

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P

光程${\displaystyle D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2}}}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2}}}}$ 

因${\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}}$ ;

所以

${\displaystyle D={\sqrt {2R^{2}+2xR}}+{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}$ 

根据费马原理， D'=0

${\displaystyle D'={\frac {R}{\sqrt {2R^{2}+2xR}}}-{\frac {R}{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}=0}$ 

解之， 得 ${\displaystyle x=0}$ ，代入D得到：

光程${\displaystyle D=2{\sqrt {2}}R}$ ，乃是一个最大值=2.8R；（最小值光程是从直径一端到Q另一端P，光程=2R）

如右图所示，设定介质１、介质２的折射率分别为 ${\displaystyle n_{1}}$  、${\displaystyle n_{2}}$  ，光线从介质１在点Ｏ传播进入介质２，则斯涅尔定律以方程表达为

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$  ；

其中，${\displaystyle \theta _{1}}$  为入射角，${\displaystyle \theta _{2}}$  为折射角。

从费马原理，可以推导出斯涅尔定律。光线在介质１与介质２的速度 ${\displaystyle v_{1}}$  和 ${\displaystyle v_{2}}$  分别为

${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}$  、

${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}$  ；

其中，${\displaystyle c}$  是真空光速。

由于介质会减缓光线的速度，折射率 ${\displaystyle n_{1}}$  和 ${\displaystyle n_{2}}$  都大于 ${\displaystyle 1}$  。

从点Q到点P的传播时间 ${\displaystyle T}$  为

${\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}}$  。

根据费马原理，光线传播的路径是所需时间为极值的路径，取传播时间 ${\displaystyle T}$  对 ${\displaystyle x}$  的导数，设定其为零：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0}$  。

其中 ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$ 

${\displaystyle {\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$ 

因此得到传播速度与折射角的关系式：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$  。

将传播速度与折射率的关系式代入，就会得到斯涅尔定律：

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$  。

伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。^[3]他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。

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