哈密顿原理

微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，又加上已知这变数在某一点的数值或导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。

哈密顿原理用积分方程来表述物理系统的运动。我们只需要设定系统在两个点的状态，叫做最初状态与最终状态。然后，经过求解系统作用量的平稳值，我们可以得到系统在，两个点之间，其他点的状态。不但是关于经典力学中的一个单独粒子，而且也关于经典场像电磁场与万有引力场，这表述都是正确的。更值得一提的是，现今，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。

用变分法数学语言来表述，求解一个物理系统作用量的平稳值（通常是最小值），可以得到这系统随时间的演变（就是说，系统怎样从一个状态演变到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演变对于任何摄动必须是平稳的。这要求导致出描述正确演变的微分方程。

哈密顿原理阐明，一个物理系统的拉格朗日函数${\displaystyle L\,}$ 所构成的作用量泛函${\displaystyle {\mathcal {S}}\,}$ ，其平稳值是这物理系统的真实演化。

以数学方程表示，定义作用量为

${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt\,}$ ；

其中，${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,}$ 是系统的拉格朗日函数，广义坐标${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,}$ 是时间${\displaystyle t\,}$ 的函数，${\displaystyle t_{1}\,}$ 和${\displaystyle t_{2}\,}$ 分别为初始时间和终结时间。

假若，作用量的一次变分${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,}$ ，作用量${\displaystyle {\mathcal {S}}\,}$ 为平稳值，则${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,}$ 正确地描述这系统的真实演化。^[1]:2

从哈密顿原理可以推导出拉格朗日方程。假设${\displaystyle \mathbf {q} (t)\,}$ 是系统的正确运动，摄动函数${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,}$ 为一个虚位移${\displaystyle \delta \mathbf {q} \,}$ ，虚位移在轨道的两个端点的值是零：

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,}$ 。

取至${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,}$ 的一阶摄动，作用量泛函的一次变分为

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}},t)-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,}$ 。

这里，我们将拉格朗日量${\displaystyle L\,}$ 展开至${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,}$ 的一阶摄动。

应用分部积分法于最右边项目：

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$ 。

边界条件${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,}$ 使第一个项目归零：

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,}$ 。

作用量泛函${\displaystyle {\mathcal {S}}\,}$ 平稳的要求意味着，对于正确运动的任意摄动${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,}$ ，一次变分${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,}$ 必须等于零：

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,}$ 。

特别注意，我们没有对广义坐标${\displaystyle \mathbf {q} \,}$ 做任何要求。在这里，我们要求所有的广义坐标都互不相依；也就是说，这系统是完整系统。这样，我们可以应用变分法基本引理而得到拉格朗日方程：

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,}$ 。

在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。^[1]:2-3

• 变分法
• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 诺特定理
• 作用量

• W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308（页面存档备份，存于互联网档案馆）; Part II (1835) p. 95-144（页面存档备份，存于互联网档案馆）.（From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805-1865）: Mathematical Papers（页面存档备份，存于互联网档案馆） edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland.（2000）; also reviewed as On a General Method in Dynamics（页面存档备份，存于互联网档案馆）)

• Herbert Goldstein (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.
• 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics（Butterworth-Heinenann, 1976）, 3rd ed., Vol. 1. 维基教科书中的相关电子教程：理论力学/哈密顿原理