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拉格朗日方程(Lagrange equation),因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名,是分析力学的重要方程,可以用来描述物体的运动,特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相当于牛顿力学中的牛顿第二定律。
定义
假设一个物理系统符合完整系统的要求,即所有广义坐标都互相独立,则拉格朗日方程成立:
- ;
其中, 是拉格朗日量, 是广义坐标,是时间 的函数, 是广义速度。
导引
在分析力学里,有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程(参阅达朗贝尔原理);更进阶层面,可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程(参阅哈密顿原理);最简明地,可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导:
设定函数 和 :
- 、
- 、
- ;
其中, 是自变量(independent variable)。
若 使泛函 取得局部平稳值,则在区间 内,欧拉-拉格朗日方程成立:
- 。
现在,执行下述变换:
- 设定独立变量 为时间 、
- 设定函数 为广义坐标 、
- 设定泛函 为拉格朗日量 ,
则可得到拉格朗日方程
- 。
- 为了满足这变换的正确性,广义坐标必须互相独立,所以,这系统必须是完整系统。
- 拉格朗日量是动能减去位势,而位势必须是广义位势。所以,这系统必须是单演系统。
半完整系统
- 主项目:参阅半完整系统
一个不是完整系统的物理系统是非完整系统,不能用上述形式论来分析。假若,一个非完整系统的约束可以以方程表示为
- ;
则称此系统为半完整系统[1]。
半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说,分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子 :
- ;
其中, 是未知函数。
由于这 个广义坐标中,有 个相依的广义坐标,泛函 不能直接被变换为拉格朗日量 ;必须加入拉格朗日乘子,将泛函 变换为 。这样,可以得到拉格朗日广义力方程:
- ;
其中, 是广义力, 。
这 个广义力运动方程加上 个约束方程,给出 个方程来解 个未知广义坐标与 个拉格朗日乘子。
实例
这个段落会展示拉格朗日方程的两个应用实例。第一个实例展示出,用牛顿方法与拉格朗日方法所得的答案相同。第二个实例展示出拉格朗日方法的威力,因为这问题比较不适合用牛顿方法来分析。
自由落体
思考一个粒子从静止状态自由地下落。由于重力 作用于此粒子,应用牛顿第二定律,可以得到运动方程
- ;
其中,x-坐标垂直于地面,由初始点(原点)往地面指。
这个结果也可以从拉格朗日形式论得到。动能 是
- ,
位势 是
- ;
所以,拉格朗日量 是
- 。
将 代入拉格朗日方程,
- 。
运动方程是
- ;
与牛顿方法的运动方程相同。
具有质量的移动支撑点的简单摆
思考一个简单摆系统。系统的x-轴平行于地面,y-轴垂直于x-轴,指向地面。摆锤P的质量是 ,位置是 。摆绳的长度是 。摆的支撑点Q的质量是 。这支撑点Q可以沿着一条平行于x-轴的直线移动。点Q的位置是 。摆绳与y-轴的夹角是 。那么,动能是
- ,
位势为
- 。
所以,拉格朗日量是
- 。
两个约束方程为
- 、
- 。
将约束方程代入拉格朗日量方程,
- 。
特别注意,在这里,广义坐标是 与 。应用拉格朗日方程,经过微分运算,对于 坐标,可以得到
- 。
运动方程为
- 。
由于拉格朗日量不显含广义坐标 ,称 为可略坐标,而其相对应的广义动量 是常数 :
- 。
对于 坐标,可以得到
- ;
所以,运动方程为
- 。
假如用牛顿第二定律,则必须仔细地辨明所有的相关作用力。这是一项既困难又容易出错的工作。
相关条目
- 拉格朗日量
- 拉格朗日力学
- 哈密顿力学
- 牛顿力学
- 变分法
参考文献
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 (英语).