梯形法则 (微分方程)

假设我们欲求解如下微分方程

${\displaystyle y'=f(t,y).}$ 

梯形法则由如下方程给出

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\tfrac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\Big )},}$ 

其中 ${\displaystyle h=t_{n+1}-t_{n}}$  为步长.^[1]

这是一个隐式方法: 函数值 ${\displaystyle y_{n+1}}$  出现在方程的左右两边, 为了实际计算它，我们必须求解一个方程（通常为非线性）。其中一种解方程的方法为 牛顿法。我们可以用 欧拉方法 来获得一个不错的解的估计值，以作为牛顿法的初始值^[2]

1. ^ Iserles 1996，第8页 harvnb error: no target: CITEREFIserles1996 (help); Süli & Mayers 2003，第324页 harvnb error: no target: CITEREFSüliMayers2003 (help)
2. ^ Süli & Mayers 2003，第324页 harvnb error: no target: CITEREFSüliMayers2003 (help)