Miura变换Miura变换是R.M.Miura等数学家在1968年发现的KdV方程与MKdV方程的变换关系[1][2]KdV方程:: u t − 6 u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0} mKdV方程: m K d V E q := v t − 6 v 2 v x + v x x x = 0 {\displaystyle mKdVEq:=v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0} 将 Miura 变换 u = v 2 + v x {\displaystyle u=v^{2}+v_{x}} 代人KdV方程,得 Eqk: 2 v v t + v t x + 2 v v x x x − 12 v 3 v x − 12 v v x 2 − 6 v x x v 2 + v x x x x = 0 {\displaystyle 2vv_{t}+v_{tx}+2vv_{xxx}-12v^{3}v_{x}-12vv_{x}^{2}-6v_{xx}v^{2}+v_{xxxx}=0} 令 Eqm: 2 v m K d V E q + ∂ ( m K d V E q ) ∂ x = 0 {\displaystyle 2vmKdVEq+{\frac {\partial (mKdVEq)}{\partial x}}=0} 得: Eqm: 2 v v t + v t x + 2 v v x x x − 12 v 3 v x − 12 v v x 2 − 6 v x x v 2 + v x x x x = 0 {\displaystyle 2vv_{t}+v_{tx}+2vv_{xxx}-12v^{3}v_{x}-12vv_{x}^{2}-6v_{xx}v^{2}+v_{xxxx}=0} 显然, Eqk 和 Eqm 是相同的。 利用Miura变换求MKdV方程的解。KdV方程 的一个平凡解为 u ( x , t ) = 1 {\displaystyle u(x,t)=1} 代人Miura变换得 v ( x , t ) 2 + v ( x , t ) x = 1 {\displaystyle v(x,t)^{2}+v(x,t)_{x}=1} 解: v ( x , t ) = tanh ( x + F ( t ) ) {\displaystyle v(x,t)=\tanh(x+F(t))} 其中F(t)为 t 的任意函数。 参考文献 ^ R.M.Miura et al,Korteweg-de Vries Equation and Generalization II. Existance of Conservation Laws and Constants of Motion, J.Math.Phys.9 1024-1209 1968 ^ 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》第79页 《Miura变换》, 科学出版社 2007年