多项式除法是代数中的一种算法,用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。它可以很容易地手算,因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。
范例
计算
把被除式、除式按某个字母作降幂排列,缺项补零,写成以下形式:
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然后商和余数可以这样计算:
- 将分子的第一项除以分母的最高次项(即次数最高的项,此处为x),得到首商,写在横线之上( ).
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- 将分母乘以首商,乘积写在分子前两项之下(同类项对齐)( )。
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- 从分子的相应项中减去刚得到的乘积(消去相等项,把不相等的项结合起来),得到第一余式,写在下面。( )然后,将分子的下一项“拿下来”。
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- 把第一余式当作新的被除式,重复前三步,得到次商与第二余式(直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止.被除式=除式×商式+余式 )
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- 重复第四步,得到三商与第三余式。余式小于除式次数,运算结束。
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横线之上的多项式即为商,而剩下的 (−123) 就是余数。
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算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形,即所有 被替换为10的情形。
除法变换
使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式(经常很有用)。 考虑多项式 , ((D)的次数 < (P)的次数)。 然后,对某个商多项式 和余数多项式 ((R)的系数 < (D)的系数),
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这种变换叫做除法变换,是从算数等式 [1] 得到的。
应用
多项式的因式分解
有时某个多项式的一或多个根已知,可能是使用有理数根定理得到的。如果一个 次多项式 的一个根 已知,那么 可以使用多项式长除法因式分解为 的形式,其中 是一个 次的多项式。简单来说, 就是长除法的商,而又知 是 的一个根、余式必定为零。
相似地,如果不止一个根是已知的,比如已知 和 这两个,那么可以先从 中除掉线性因子 得到 ,再从 中除掉 ,以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 。
使用这种方法,有时超过四次的多项式的所有根都可以求得,虽然这并不总是可能的。例如,如果有理数根定理可以用来求得一个五次方程的一个(比例)根,它就可以被除掉以得到一个四次商式;然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。
寻找多项式的切线
多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。[2] 如果 是 的余式——也即,除以 ——那么在 处 的切线方程是 ,不论 是否是 的根。
参见
- 多项式余数定理
- 综合除法
- 欧几里得整环
- Gröbner basis
- 多项式最大公因子
引用
- ^ S. Barnard. Higher Algebra. READ BOOKS. 2008: 24. ISBN 1443730866.
- ^ Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette 89, November 2005: 466-467.