贝克隆德变换

贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系^[1]。

两个非线性偏微分方程

${\displaystyle F_{1}(u,x,t,u_{x},u_{t},u_{xx},u_{tt},u_{xt},u_{tt})=0,}$

${\displaystyle F_{2}(w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta },w_{\xi },w_{\xi \xi },w_{\xi \eta },w_{\eta \eta })=0}$

之间的贝克隆德变换，指的是这样一对关系

${\displaystyle \phi _{1}(u,x,t,u_{x},u_{t},w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0,}$

${\displaystyle \phi _{2}(u,x,t,u_{x},u_{t},w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0.}$

贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。

1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v

${\displaystyle u_{xt}=\sin u.\,}$

${\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,}$

之间有如下关系：^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}-2\beta \sin {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{t}&=-u_{t}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\Bigl (}{\frac {v-u}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}$

这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。

将贝克隆德自变换第一式对t取微商，二式对x微商：

${\displaystyle bt1:=(1/2)*u_{xt}-(1/2)*v_{xt}=\beta *cos((1/2)*u+(1/2)*v)*((1/2)*u_{t}+(1/2)*v_{t})}$

${\displaystyle bt2:=(1/2)*u_{xt}+(1/2)*v_{xt}=cos((1/2)*u-(1/2)*v)*((1/2)*u_{x}+(1/2)*v_{x})/\beta }$

消除v即得${\displaystyle u_{xt}=\sin u.\,}$；

消除u项即得

${\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,}$

贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程、高维广义Burger I型方程、高维广义Burger II型方程的精确解：^[3]