曲面染色

通常所说的地图染色，一般是指在平面上染色，或者在球面上染色，每一个染色区域都是单连通的。而曲面染色是指在一个有洞的物体上划分若干个区域，有一个洞的叫做环面，又叫亏格1的曲面。有两个洞的油饼形状叫做亏格2的曲面。

问题的提出到解决用了78年，直到1974年才获得解决，由德国数学家杰拉德·林格尔（英语：Gerhard Ringel）和美国数学家约翰·W·T（泰德）·杨斯（英语：John William Theodore Youngs）证明了：

Np=[7+${\displaystyle {\sqrt[{}]{1+48p}}}$ ]/2.

P是指亏格数，即洞的数目，例如p=1时，就是环面，

${\displaystyle N_{1}}$ =[7+${\displaystyle {\sqrt[{}]{1+48}}}$ ]/2=7.

环面七色定理图形由外国数学家构造。 ${\displaystyle N_{2}=8}$ ，${\displaystyle N_{3}=9}$ ，...。其它图形构造直到2010年构造完成。特别是双环面的八色定理用了9年完成。

因为可以构造无穷个两两相连区域，有人将其与数论联系起来，无穷个素数两两互素，每一个素数与每一个区域一一对应，可以用数论方法研究图论，或者反之。两两相连区域可以一笔画， 例如8个区域两两相连有（8-1）！=7！=7×6×5×4×3×2×1=5040种方式一笔画。通常在实际应用于各种枢纽：网络，电路，交通，，，。

《图论和网络流理论》239页，高等教育出版社