威尔逊定理

充分性

如果 ${\displaystyle p}$  不是质数，那么它的正因数必然包含在整数 ${\displaystyle 2,3,4,\cdots ,p-1}$  中，因此 ${\displaystyle \gcd((p-1)!\ ,p)>1}$  ，所以不可能得到 ${\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}$ 。

必要性

若${\displaystyle p}$ 是质数，取集合 ${\displaystyle A=\left\{1,2,3,...p-1\right\}}$ ， 则${\displaystyle A}$ 构成模${\displaystyle p}$ 乘法的缩系，即任意 ${\displaystyle i\in A}$ ，存在 ${\displaystyle j\in A}$ ，使得：

${\displaystyle (ij)\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}$ 

这几乎说明${\displaystyle A}$ 中的元素恰好两两配对。仅有满足

${\displaystyle x^{2}\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}$ 

的元素${\displaystyle x}$ 是例外。

上式解得

${\displaystyle x\ \equiv \ 1{\pmod {p}}}$ 

或

${\displaystyle x\ \equiv \ p-1{\pmod {p}}}$ 

其余两两配对，故而

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ 1\times (p-1)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}$ 

若${\displaystyle p}$ 不是质数且大于4， 则易知有${\displaystyle d=\gcd[p,(p-1)!]=p,}$ 

故而

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}$ 

可以借此推论${\displaystyle (p-2)!\equiv 1{\pmod {p}}}$ 如下：

${\displaystyle (p-2)!\equiv -(p-1)(p-2)!\equiv -(p-1)!\equiv 1{\pmod {p}}}$