Kalman–Yakubovich–Popov引理

给定${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n},B\in \mathbb {R} ^{n\times m},M=M^{T}\in \mathbb {R} ^{(n+m)\times (n+m)}}$ ，其中 ${\displaystyle \det(j\omega I-A)\neq 0}$ 针对所有${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$ ，且${\displaystyle (A,B)}$ 有可控制性，则以下的叙述是等价的：

1. 针对所有${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ 

   ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]^{*}M\left[{\begin{matrix}(j\omega I-A)^{-1}B\\I\end{matrix}}\right]\leq 0}$ 

2. 存在一矩阵${\displaystyle P\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ 使得${\displaystyle P=P^{T}}$ 且

   ${\displaystyle M+\left[{\begin{matrix}A^{T}P+PA&PB\\B^{T}P&0\end{matrix}}\right]\leq 0.}$ 

即使${\displaystyle (A,B)}$ 不具有可控制性，对应上式的严格不等式仍成立^[6]。