流 (数学)
在数学中, 一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法,这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说,如果 是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数,那么 是一个流。更形式地说,流是单参数群在一个集合上的群作用。
向量流的概念,即由一个向量场确定的流,出现于微分拓扑、黎曼流形和李群诸多领域。向量流的特例包括测地流、哈密顿流、里奇流、平均曲率流以及 Anosov 流。
形式化定义
集合 上的一个流是 在 上的群作用。更准确地,流是一个函数 ,满足 且和单参数群保持一致:
对所有 属于 和 。
集合 称为 在 作用下的轨道。
当空间 有额外的结构(比如 是一个拓扑空间或 )时,流经常要求连续甚至可微。
在许多领域,包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而
写成 ,这样我们可以说“变量 x 取决于时间 t”。事实上,在记号上,有严格的等价关系: 。类似地
写成 ,等等。
例子
流最常见的例子是描述自治常微分方程的解,当方程的解存在且惟一时
可作为初始条件 的函数。这就是,如果以上方程有惟一的解 对任何 ,那么 定义了一个流。
参考文献
- D.V. Anosov, Continuous flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- D.V. Anosov, Measureable flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- D.V. Anosov, Special flow, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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