不可及数

不可及数（Untouchable Number）是这样的一些正整数，它们无法表示为任意一个正整数（包括自身）的全部真约数之和。

比如5就是不可及数。5可以表示为1+4，这是唯一加数中有1，且加数没有重复的分解方式。不过，如果4是某个数的因数，则2也是它的因数，因此1和4明显不能是任何一个数所有的正因子，2也必须包括进来。5=2+3的分解方式不包括1，因此也是不符要求的。别的分解方式必然包括相同的数，因此也不符合要求。

相反的，4就不是不可及数，因为4可以表示为1+3，这是9的正因子（不考虑9本身）的和，因此4不是不可及数。

在线数列百科OEIS的A005114数列展示了递增排列的不可及数：

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……

保罗·埃尔德什证明了不可及数有无穷多个。

人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数，但这尚未获得证明。可以由稍强化的哥德巴赫猜想^[1]得到此推论。如果这个猜想成立，那么除了2和5，不可及数都应该是合数。

完全数显然不是不可及数：完全数正好等于自身所有因子之和。

梅森数显然不是不可及数：2的幂的真约数和正好等于梅森数。

质数进位由1组成的纯位数显然不是不可及数：质数幂的真约数和等于质数进位由1组成的纯位数。

不可及数不可能比素数多1：显然任何素数p的平方的因子之和为p+1。

不可及数不可能比素数多3：显然任何素数p的2倍的因子之和为p+3。