累次极限本条目存在以下问题,请协助改善本条目或在讨论页针对议题发表看法。 此条目需要精通或熟悉数学的编者参与及协助编辑。 (2021年9月21日)请邀请适合的人士改善本条目。更多的细节与详情请参见讨论页。另见其他需要数学专家关注的页面。此条目包含过多行话或专业术语,可能需要简化或提出进一步解释。 (2012年8月15日)请在讨论页中发表对于本议题的看法,并移除或解释本条目中的行话。没有或很少条目链入本条目。 (2012年8月15日)请根据格式指引,在其他相关条目加入本条目的内部链接,来建构维基百科内部网络。此条目没有列出任何参考或来源。 (2012年8月15日)维基百科所有的内容都应该可供查证。请协助补充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的内容可能会因为异议提出而移除。在n元函数中,由各变量依某种次序相继地各自趋于极限而得出的极限,称为累次极限。 定义 为简单起见,以讨论二元函数 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 为限。假设变量 x , y {\displaystyle x,y} 的变动区域 D {\displaystyle D} 是这样: x {\displaystyle x} 可以(与 y {\displaystyle y} 无关的)取集 X {\displaystyle X} 内的任意数值, X {\displaystyle X} 以不属于它的点 a {\displaystyle a} 作为聚点,同样 y {\displaystyle y} 可以(与 x {\displaystyle x} 无关的)在集 Y {\displaystyle Y} 内变动, Y {\displaystyle Y} 以不属于它的点 b {\displaystyle b} 作为聚点。这样区域 D {\displaystyle D} 可以记为 X × Y {\displaystyle X\times Y} 。 若对 Y {\displaystyle Y} 内任一固定的 y {\displaystyle y} ,函数 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} (它将只是 x {\displaystyle x} 的函数)在 x → a {\displaystyle x\to a} 时有极限存在,则这极限。一般地说,将与预先固定的 y {\displaystyle y} 值有关: lim x → a f ( x , y ) = ϕ ( y ) {\displaystyle \lim _{x\to {a}}f(x,y)=\phi (y)} 然后可以讨论函数 ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (y)} 在 y → b {\displaystyle y\to b} 时的极限: lim y → b ϕ ( y ) = lim y → b lim x → a f ( x , y ) {\displaystyle \lim _{y\to {b}}\phi (y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)} 这就是两个累次极限之一,若趋于极限的过程由相反的次序进行,就得出另一累次极限; lim x → a lim y → b f ( x , y ) {\displaystyle \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)}