格林-陶定理

对于任意的素数集合的子集${\displaystyle A}$ ，若${\displaystyle A}$ 相对于素数集合的上密度（英语：upper density）为正，即：

${\displaystyle \limsup _{N\rightarrow \infty }{\dfrac {|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}}>0}$ 

其中，${\displaystyle \pi (N)}$ 代表不大于${\displaystyle N}$ 的素数的个数。

那么：

对于任意的正整数${\displaystyle k}$ ，${\displaystyle A}$ 中的元素可以组成任意多个长度为${\displaystyle k}$ 的等差数列。^[1]

格林-陶定理有以下两个直接的推论：

• 对于任意正整数${\displaystyle k}$ ，质数序列中存在任意多长度为${\displaystyle k}$ 的等差子序列
• 质数序列中包含有任意长的等差子序列

质数序列中长度为${\displaystyle k}$ 的等差子序列，对于1≤n≤k，目前最好的结果是对于k=26，此等差数列为：

{a_n=43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 ·(n-1)}

• 格林-陶定理是塞迈雷迪定理（英语：Szemerédi's theorem）在素数集上的推广。
• 格林-陶定理是埃尔德什等差数列猜想的一个特例。
• 更强的猜想是对于任何正整数r，质数序列中都存在任意长度的r阶阶差数列 that is not r−1阶阶差数列（0阶阶差数列是常数数列，1阶阶差数列是等差数列，依此类推），格林-陶定理就是r=1的特例。对于2阶阶差数列，质数序列中长度为${\displaystyle k}$ 的二阶阶差子序列，对于0≤n≤k−1，目前最好的结果是对于k=45，此数列为36n^2-810n+2753（不管各项的大小顺序，只要序列中没有重复的质数就可以）。

• MathWorld news article on proof （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Primes in Arithmetic Progression Records （页面存档备份，存于互联网档案馆）