魏尔斯特拉斯预备定理

假设 ${\displaystyle f}$  是定义在一个区域 ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{m}}$  内的全纯函数，若 ${\displaystyle f}$  于点 ${\displaystyle P}$  的某个邻域 ${\displaystyle \Omega }$  内不恒为零，假设在某一组基下，${\displaystyle P}$  的坐标为 ${\displaystyle (p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ，那么我们有：

• 存在 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$  的这样一组基，对 ${\displaystyle p_{m}}$  任意邻域 ${\displaystyle B_{\delta }(p_{m})}$ ，使得 ${\displaystyle \forall t\in B_{\delta }(p_{m})}$ ，${\displaystyle f(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{m-1},t)\not \equiv 0}$ 
• 对于以上的基，可以找到一个全纯函数 ${\displaystyle u}$ ，使得

• 而假如存在某个全纯的 ${\displaystyle h}$  与多项式 ${\displaystyle g'}$ ，使得 ${\displaystyle f\sim hg'}$ ，那么 ${\displaystyle g,g'}$  作为多项式相伴.