三段论

在数理逻辑里，三段论证可以能代表：(若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  都为合式公式)

${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}},\,{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {C}}}$ 

也就是一个元定理，事实上是演绎定理的直截结果。

但另一方面，若

${\displaystyle {\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$ 

成立，则也会被称为以 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  为前提，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  为结论的三段论证。

亚里士多德给出的经典的“Barbara”三段论：^[2]

如果所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：${\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]}$ 

并且所有希腊人（G）都是人（M），（小前提）：${\displaystyle \forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]}$ 

那么所有希腊人（G）都是必死的（D）。（结论）：${\displaystyle \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]}$ 

严谨地说，这段论证宣称

${\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)],\,\forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]\vdash \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]}$ 

这个论证会正确，是基于

${\displaystyle \forall x{\mathcal {A}}\vdash {\mathcal {A}}}$ 

和

${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}},\,{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {C}}}$ 

还有普遍化：（若变数${\displaystyle x}$ 在${\displaystyle \Gamma }$ 里的所有合式公式中，都不自由）

若 ${\displaystyle \Gamma \vdash {\mathcal {A}}}$  ，那就会有 ${\displaystyle \Gamma \vdash \forall x{\mathcal {A}}}$ 

另一方面，含常数符号(特殊个体)的例子如

所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：${\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]}$ 

苏格拉底（S）是人（M），（小前提）：${\displaystyle M(S)}$ 

苏格拉底是必死的。（结论）：${\displaystyle D(S)}$ 

上面的例子也可以抽换成

(所有)金属可以导电，（大前提）

铜是金属，（小前提）

铜可以导电。（结论）

与之相对的是隐喻，它组织叫做肯定后件的一种形式的三段论，是逻辑谬论：

草（P）会死（M）.

人（S）会死（M）.

人（S）是草（P）.

Barbara三段论涉及文法和逻辑类型；它有一个主词（比如苏格拉底）和一个谓词（必死的）。肯定后件，是隐喻的基础。这种形式的三段论是逻辑上无效的。

三段论也可以是无效的，如果它们有四个项或者中项不周延。

归纳论证（epagoge）是依赖于归纳推理的弱三段论。

下表以文氏图展示24个有效直言三段论，不同栏表示不同的前提，不同外框颜色表示不同的结论，需要存在性预设的推理以虚线与斜体字标示。

• 文氏图

• Abbreviatio Montana（页面存档备份，存于互联网档案馆） article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
• The Figures of the Syllogism（页面存档备份，存于互联网档案馆） is a brief table listing the forms of the syllogism.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy entry on Medieval Theories of Syllogisms（页面存档备份，存于互联网档案馆）