蕴涵
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语义蕴涵
语义蕴涵也叫做逻辑蕴涵(Logical Implication)[1],亦可以读作 B 是 A 的语义后承。
陈述句子集合A语义上蕴涵句子集合B。
形式定义:集合A蕴涵集合B,当且仅当在其中A中所有句子都为真的所有模型中,在B中的所有句子也是真的。在图表形式中,它看起来像:
我们需要蕴涵的定义要求A的所有的模型也是B的模型,因为像知识库这样的形式系统在被问到事实的集合(A)是否蕴涵命题(B)的时候,不可能知道在用户头脑中对此的解释。
在语用学(语言学)中,蕴涵有不同的但密切相关的意思。
如果对于公式X有 则X被称为"有效的"或是"重言式"。
语法蕴涵
陈述句子集合A语法蕴涵句子集合B。它可以读作"B可以证明自A",或 B 是 A 的语法后承。
定义:A语法蕴涵B,如果通过假定所有A中所有的句子并通过对它们应用一个有限序列的推理规则(比如来自命题演算的),你可以推导出B中的所有句子。
当然,这与特定的逻辑(证明演算)有关。在讨论多个逻辑的情况下,在 符号上放置下标是很有用的。
在语义和语法蕴涵之间的联系
理想上,语义蕴涵(semantic consequence)和语法蕴涵(syntactic consequence)等价,但这不总是可行。(参见哥德尔不完备定理,它陈述了包含为真但不能证明的句子的一些语言(比如算术))。在这种情况下,把等价分成两部分是有用的:
演绎系统S对于语言L是完备的,当且仅当 :就是说,所有有效的论证都是可证明的。
演绎系统S对于语言L是可靠的,当且仅当 :就是说,所有可证明的论证都是有效的,没有无效的论证是可证明的。
与实质蕴涵的联系
在很多情况下,蕴涵符合于实质蕴涵:就是说, 当且仅当 。但是在一些多值逻辑中这不是真的。
参见
- 逻辑等价
- 实质蕴涵
- 文字蕴涵
- 蕴涵门
- ^ Christopher C. Leary. A Friendly Introduction to Mathematical Logic 2nd Edition. : 36–37.