别雷定理

数学上，别雷定理（英语：Belyi's theorem）是有关代数曲线的定理，指出任何用代数数系数定义的非奇异（英语：non-singular）代数曲线C，都代表这样的一个紧黎曼曲面（英语：Compact Riemann surface），这黎曼曲面能作为黎曼球面的分歧覆盖（英语：ramified covering），且只有三个分歧点。

这定理是根纳季·别雷（英语：G. V. Belyi）1979年的结果。这个结果当时令人大感意外，激发格罗滕迪克发展出dessin d'enfant（英语：dessin d'enfant）理论，使用组合数学资料描述代数数上的非奇异代数曲线。

格罗滕迪克曾在《Esquisse d'un Programme（英语：Esquisse d'un Programme）》评价这定理说：“不到一年后，在赫尔斯基的国际数学家大会中，苏联数学家别雷宣布了正正这个结果，证明令人困惑地简单，德利涅一封信的两小页也容得下。毫无疑问，从未有一个深刻且令人迷惑的结果，如此短短数行就证明出来！”[1]

上半平面的商

从上推导出这样的黎曼曲面可以取作

H / Γ

其中H是上半平面，Γ是模群（英语：modular group）的有限指数子群，曲面用尖点紧化。因为模群有非同余子群（英语：non-congruence subgroup），故此不可以作结论说任何这样的曲线都是模曲线。

别雷函数

别雷函数是从紧黎曼曲面S到复射影直线P1(C)的全纯映射，仅在三点分歧，这三点可以经由莫比乌斯变换取为 。别雷函数可以用dessin d'enfant给出组合数学描述。

别雷函数和dessin d'enfants（但不是别雷定理）至少可以追溯到菲利克斯·克莱因的工作。他用了这些概念去研究复射影直线的一个11重复盖，其单射群（英语：monodromy group）为PSL(2,11)。[2]（Klein 1879）

应用

别雷定理证明了别雷函数的存在性。这定理常应用于伽罗瓦逆问题（英语：inverse Galois problem）。

参考

  1. ^ A. Grothendieck. Esquisse d'un Programme (PDF): p.17. [永久失效链接]
  2. ^ le Bruyn, Lieven, Klein’s dessins d’enfant and the buckyball, 2008 [2015-03-20], （原始内容存档于2014-08-12） .

参看

  • Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino, Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants, London Mathematical Society Student Texts 79, Cambridge: Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253.30001 
  • Wushi Goldring, Unifying themes suggested by Belyi's Theorem, Dorian Goldfeld; Jay Jorgenson; Peter Jones; Dinakar Ramakrishnan; Kenneth A. Ribet; John Tate (编), Number Theory, Analysis and Geometry. In Memory of Serge Lang, Springer: 181–214, 2012, ISBN 978-1-4614-1259-5