绝妙定理

绝妙定理（拉丁语：Theorema Egregium）是微分几何中关于曲面的曲率的重要定理，由高斯发现。这定理说曲面的高斯曲率可以从曲面上的长度和角度的测量完全决定，无需理会曲面如何嵌入三维空间内。换言之，高斯曲率是曲面的内蕴不变量。用现代术语可表述为：

绝妙定理的一个结果，就是地球在地图上展示时不可能无扭曲。这幅地图用的麦卡托投影法，保持角度但不能保持面积。
高斯曲率在局部等距变换下不变。

用现代几何语言来说：高斯曲率是规范不变量。

定理叙述

考虑在欧氏空间 中的曲面。两点间的内蕴距离定义为在曲面上且连接两点的曲线的长度的最大下界。（例如一个单位球上两个对径点的内蕴距离是π，而在欧氏空间内的距离是2。）连接两点的长度最短的曲线称为测地线。

两个空间若彼此间有保持距离相同的双射，则这两个空间等距。若在空间中每一点都有邻域，可在其上定义如此的双射，则这两个空间是局部等距。

曲面上的一点的高斯曲率有几种定义：

  • 穿过这点的测地线中最大和最小曲率的积，
  • 在这点的无限小的邻域，经高斯映射在单位球面上的像，和在曲面上的这邻域的面积比。

在这些定义中，要算出高斯曲率，先要知道曲率如何嵌入到空间中。而一个曲面的不同嵌入，可得出局部等距的不同曲面。最简单的例子是平面和圆柱体的侧面：将一张摊成平面的纸卷起来包着圆柱体，就得出从平面到圆柱体侧面的局部等距变换，因为这个变形不会改变纸上相近两点的距离。

这条定理称为绝妙定理，是因为高斯曲率的定义需靠曲面到空间的嵌入，而最终结果却不依赖于嵌入。

参见

  • 陈-高斯-博内定理

参考

  • Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead (Translator), General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged (Paperback), Wexford College Press, 2007, ISBN 978-1-929148-77-6.
  • Carl Friedrich Gauss (Author), Peter Pesic (Editor), General Investigations of Curved Surfaces (Paperback), Dover Publications, 2005, ISBN 978-0-486-44645-5.