海涅-康托尔定理

海涅-康托尔定理,以爱德华·海涅乔治·康托尔命名,说明如果M是一个度量空间N是一个度量空间,则每一个连续函数

f : M → N,

都是一致连续的。

特别地,如果f : [a,b] → R是一个连续函数,则它是一致连续的。

证明 1

假设f在紧度量空间M上连续,但不一致连续,则以下命题

 ,使得对于所有M内的xy,都有 

的否定是:

 ,使得 ,使得 ,且 

其中d 分别是度量空间MN上的距离函数

选择两个序列xnyn,使得:

 ,且  (*)

由于度量空间是紧致的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,序列xn存在一个收敛的子序列 ,而 ,故  收敛于相同的点。又因为f是连续的,所以  收敛于相同的点,与(*)式矛盾。

证明 2

[1]f 是从一个紧度量空间 (M,dM) 到一个度量空间 (N,dN) 的连续函数,欲证明 f 是一致连续的。

设给定了  , 于是对   中的每一个点   都存在一个与   有关的  , 使得

 

考虑由半径为   的球   构成的集族, 这族球覆盖  , 而且因为   是紧的, 所以这些球中有有限个也覆盖  , 比方说

 

在任何一个两倍半径的球   中, 我们有

 

 , 欲证明这个   满足一致连续性定义中的要求.

  中的两个点    满足条件  , 由  , 有某个球   包含  , 所以

 

由三角不等式可得

 

因而,  , 所以也有  . 再次使用三角不等式就可以发现

 

参考文献

  1. ^ 存档副本. [2022-10-16]. (原始内容存档于2022-10-15). 

外部链接