假设f在紧度量空间M上连续,但不一致连续,则以下命题
- ,使得对于所有M内的x和y,都有
的否定是:
- ,使得 ,使得 ,且 。
其中d和 分别是度量空间M和N上的距离函数。
选择两个序列xn和yn,使得:
- ,且 (*)
由于度量空间是紧致的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,序列xn存在一个收敛的子序列 ,而 ,故 和 收敛于相同的点。又因为f是连续的,所以 和 收敛于相同的点,与(*)式矛盾。
[1]
设 f 是从一个紧度量空间 (M,dM) 到一个度量空间 (N,dN) 的连续函数,欲证明 f 是一致连续的。
设给定了 , 于是对 中的每一个点 都存在一个与 有关的 , 使得
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考虑由半径为 的球 构成的集族, 这族球覆盖 , 而且因为 是紧的, 所以这些球中有有限个也覆盖 , 比方说
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在任何一个两倍半径的球 中, 我们有
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设 , 欲证明这个 满足一致连续性定义中的要求.
对 中的两个点 和 满足条件 , 由 , 有某个球 包含 , 所以
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由三角不等式可得
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因而, , 所以也有 . 再次使用三角不等式就可以发现
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