此条目的主题是数学分析中关于傅里叶级数的定理。关于数论中的
狄利克雷定理,请见“
狄利克雷定理”。
在数学分析中,狄利克雷定理(或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件)是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的[1]。由于当时还没有出现适合的积分理论,狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数(除了在有限点以外都单调的函数)。
定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的,适用于所有局部有界变差函数[2]。
定理的叙述
设 为一个在 上的周期性的局部可积函数,其周期为 。给定 ,假设有以下条件成立:
- 函数 在 处有左极限和右极限,分别记为 和 。
- 存在正实数: ,使得以下的两个积分收敛:
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那么,函数 的傅里叶级数在 处收敛,并且有:
-
定理成立的一个特例是当函数 在 处有左导数和右导数的时候,又或者是当函数是分段 函数(见光滑函数)的时候。
证明
定理的证明是基于以下事实:傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式:狄利克雷核来计算。
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这里使用的是狄利克雷核的第二种形式:
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这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件,唯一需要考虑的地方是函数 在0附近并不一定可积。但是由于:
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存在,可以考虑将区间 上的积分用 换元,这样 就变成:
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因此:
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而由于狄利克雷核在区间 上的积分平均值是1,也就是说:
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因此:
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由条件二,以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理,因此可以对两边求极限,得到:
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参见
注释与参考
- ^ 狄利克雷, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169
- ^ 若尔当, Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230
参考书籍
- (英文)Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms. Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715. p.46-52.
- (法文)Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Séries de Fourier et ondelettes. Cassini. 1998. ISBN 284225001X.