库塔-儒可夫斯基定理
库塔-儒可夫斯基定理(Kutta–Joukowski theorem)是空气动力学的基本定理,计算机翼或是二维物体(例如圆柱)在均匀流体中的升力,且此流场的速度够快,使物体的速度场是稳定及无分离的。定理显示出,机翼产生的升力与机翼通过流体的速度、流体密度以及环量有所关联[1]。库塔-儒可夫斯基定理得名自德国科学家马丁·威尔海姆·库塔及俄国科学家尼古拉·叶戈罗维奇·茹科夫斯基,他们在二十世纪初首次提出这様的概念。库塔-儒可夫斯基定理是考虑压力及升力的无粘性理论,不过在典型的空气动力学应用中,可以用来模拟实际的黏性流。
对于围绕机翼的流体,环量被定义为与闭合回路相切的“流体切线速度的线积分”[2],其速度的大小及方向会沿着路径而改变。
库塔-儒可夫斯基定理建立升力和环量的关系,类似马格努斯效应建立旋转和侧向力的关系一样[1]。不过此处的环量不是因为机翼的旋转而产生,而是因为以下提及的机制而产生。由于机翼的存在,气流的变化可以视为平移流场及旋转流场(涡旋)的叠加。此旋转流是由翼型的外倾角、攻角及锐利的后缘角所产生,不同于外形像龙卷风的涡旋。若离机翼够远时,旋转流可以视为是由涡旋所引发的,涡旋的中心线平行二维平面。在描述机翼的库塔-儒可夫斯基定理时,一般会假设机翼是圆柱形或是其他的茹科夫斯基翼型。
升力公式
此定理和在二维流场中的翼型(或是翼展无穷大的圆柱)有关,可以计算单位翼展下的升力。当环量 已知,其升力 除以翼展下的单位翼展升力(或表示为 )可以表示为以下的方程式[3]:
-
(
)
其中
- 及 分别为流体密度及在翼型上游,远离翼型位置的流体速度,
- 为以下线积分定义的环量(逆时针为正值)
上述环量是沿着一个封闭围道 进行,此围道包覆着翼型或是圆柱,且沿着其正方向(逆时针)进行。其路径需在位流的范围内,不能在圆柱的边界层内。被积分式 是局部流体速度沿着曲线 切线方向的分量,且 为曲线 的无穷小面积。方程式(1)是库塔-儒可夫斯基定理中的一个形式。
Kuethe和Schetzer用以下的话描述库塔-儒可夫斯基定理:[4]
- 任意截面积的柱形物体,其单位长度的受力等于 ,方向和 垂直。
在使用库塔-儒可夫斯基定理时,需注意环量 的计算。
环量和库塔条件
一个产生升力的翼型或者具有弯度,或者是在均匀的流体中以一定攻角 (机翼弦线和平移方向的角度)平移。而且翼型需要有一个锐利的后缘。上述条件类似鸟的翅膀,有锐利的后缘,有弯度,在天空中有一定的攻角。
实际的流体是有黏性的,流体速度在翼型边缘为零,因此若考虑黏性流体,且以翼型形状为围道计算环量,其环量也为零。甚至由翼形上方及下方的流体会在后缘相会,而黏滞耗散会使流体不旋转。这称为真实流场的库塔条件。普朗特发现若雷诺数 够大,攻角够小,翼型够薄,则流场可以分为靠近机翼小区域的黏滞层(称为边界层),以及其他区域的非黏性流。
库塔和儒可夫斯基发现在计算雷诺数够大,攻角够小,厚度够薄的翼型之压力和升力时,若假定已考虑库塔条件,可以假设整个流场是非黏性流。这称为位流理论,在实务上结果相当接近。在非黏性流施加库塔条件相当于计算环量。
简单来说,类似鸟翅膀的机翼自然会产生升力,在飞行中的流场满足库塔条件。若使用位流理论(在计算压力及升力时假设是非黏性流及无旋转流,计算阻力时用普朗特边界层来近似),要求飞行时间符合库塔条件,会得到一个由=库塔-儒可夫斯基定理和环量产生的升力,和实际的升力非常接近。
推导
以下有二种推导方式,第一个是基于物理的直觉,较启发式的推导,第二种是比较正式及技术式的推导,需要用到向量分析及复变分析的知识。
启发式的推导
以较启发式的说法,考虑一个薄的机翼,其翼弦为 ,有无限长的翼展,在密度为 的空气中移动。令翼和气流有一个攻角,使翼的一侧的气流速度为 ,另一侧的气流速度为 ,因此其环流为
机翼两侧的压力差 可以由伯努利定律求得
因此单位翼展的浮力为
此理论的微分版本可应用在机翼中的每一个元素,也是薄翼理论(thin-airfoil theory)的基础。
正式的推导
库塔-儒可夫斯基定理的正式推导 首先先计算任何截面积、单位长度的长条物体在流体中的受力[5]。先令单位长度的力(以下简称为力)为 ,因此总受力为: 其中C为长条物体的边缘、 为流体的静压、 为和长条物体表面垂直的单位向量、ds是截面积边缘的弧状元素。令 为法向量和垂直的夹角,上述力的分量为:
以下是重要步骤:将上述的二维空间当作复数平面,每个向量可以用复数表示,第一个分量对应其实部数值,第二个分量对应其虚部数值,因此上述的力可以表示为:
下一步是取力 的共轭复数,再做一些处理:
表面元素ds和dz的变化有关:
将这些代入积分中,可得:
接下来为了将压力移出积分以外,应用伯努利定律。假设没有其他外在的力场,流体的质量密度为 ,压力 和速度 有以下的关系:
将上式代入力的积分式,可得:
还剩下一个步骤要进行:引入 ,流场的复变势函数,和速度分量的关系是 ,其中撇号表示对复数变数z的微分。速度会相切于边缘C,因此 ,则 ,受力的表示式可以改写为下式:
称为布拉乌斯-恰普雷金公式([Blasius–Chaplygin formula)。
若要得到库塔-儒可夫斯基定理,需计算上述积分的值,根据复变分析可知,一个全纯函数可以用洛朗级数来表示,根据此问题的物理特性,复变势函数 的微分会如以下所示:
因为在无穷远处的速度为有限值,此函数没有其他高阶项。因此 即为此函数在无穷远处的导数: . 下一个任务是找出 的意义,根据留数定理可得
再计算以下的积分:
第一个积分即为环量,可以用 表示,第二个积分可以用以下方式计算:
此处 为流函数,因为边界C本身即为流线,因此在上面流函数不会变化,即 ,因此第二个积分为零,因此:
复变势函数取平方:
将上式代入布拉乌斯-恰普雷金公式中,利用留数定理算积分:
因此库塔-儒可夫斯基定理为:
较复杂情形下的升力
库塔-儒可夫斯基定理预测的升力是以无粘性流的势流理论为基础,但若流场是稳定且无分离的,库塔-儒可夫斯基定理的结果很接近实际的黏性流[6]。
在推导库塔-儒可夫斯基定理时,有假设流场是无旋转流,若在物体外有自由涡流,就像许多不稳定流的情形,此流场为旋转流,在推导升力时就需要一些更复杂的理论。
- 小攻角下突然启动的流场:若是机翼突然加速,或是攻角较小的情形下突然启动的流场,在机翼后缘会连续的出现涡片泄离,此时的升力是时变不稳定的。若是小攻角下启动的流场,涡片会延著平面的路径,升力系数的曲线会随时间而变化,其形式会是Wagner函数[7]。此时最终升力会如同库塔-儒可夫斯基定理所预测的一样,但初升力只有最终升力的一半[8]。当机翼前进七倍翼弦的距离时,其升力才会达到最终升力的90%。
- 大攻角下突然启动的流场:若攻角够大的话,机翼后缘的涡片一开始会是螺旋形的,理论升力在一开始会是无限大[9]。一般认为升力的曲线是随时间单调递增的,但在大攻角下,会有一段很短暂的时间会有升力下降的情形。
- 大攻角下启动,有锐利的机翼前缘:若针对一片平粄,也有锐利的前缘,涡片泄离会出现在前缘,而前缘的涡片泄离有二种不同的效果:
- 1.若仍接近前缘,可以提升Wagner升力曲线,可以增加升力。
- 2.若前缘的涡片泄离和后缘有关,引入新的后缘螺旋形涡片,延著升力增加的方向移动,则会破坏升力。
- 对于这种流场,涡升力线(VFL)图[10]可以用来了解不同情形下涡流带来的效果(包括流场启动及其他的条件),也可以控制涡流以增强或降低升力。涡升力线图是一个二维的图,其中会绘出涡升力线,其对升力的贡献和其速度、环量及涡升力线和流线的余弦成正比,因此涡升力线可以看出涡流对升力的提升或破坏程度。
- Lagally定理:若在机翼外面有固定的涡源,其对升力的修正可以表示为涡源的强度,及因其他因素造成涡源处诱导速度,这称为Lagally定理。[11]。
- 针对二相的非黏性流,传统的库塔-儒可夫斯基定理预测阻力为零,不过若机翼外有涡源,会产生阻力,其形成原因类似升力。
相关条目
- 马格努斯效应
- 马蹄形旋涡
- 升力系数
- 库塔条件
- 翅膀
参考资料
- ^ 1.0 1.1 Lift on rotating cylinders. NASA Glenn Research Center. 2010-11-09 [2013-11-07]. (原始内容存档于2014-01-11).
- ^ Anderson, J.D. Jr., Introduction to Flight, Section 5.19, McGraw-Hill, NY (3rd ed. 1989.)
- ^ Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 4.5
- ^ A.M. Kuethe and J.D. Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 4.9 (2nd ed.)
- ^ Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, p 406
- ^ Anderson J Fundamentals of Aerodynamics, Mcgraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering, McGraw-Hill Education, New York 2010
- ^ Wagner H Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflueln. Z. Angew. Math. Mech.1925, 5, 17.
- ^ Saffman PG Vortex dynamics, Cambridge University Press, New York, 1992 .
- ^ Graham JMR,The lift on an aerofoil in starting flow |publisher= Journal of Fluid Mechanics, 1983, vol 133, pp 413-425
- ^ Li J and Wu ZN. Unsteady lift for the Wagner problem in the presence of additional leading trailing edge vortices. Journal of Fluid Mechanics, 2015, Vol 769, pp 182 - 217.
- ^ Milne-Thomson LM Theoretical Hydrodynamics[p226], Macmillan Education LTD, Hong Kong.1968
- Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
- Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
- A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3