梅尔曼–瓦格纳定理

若 φ 是高斯自由场（一种纯量场），m是质量，维度d=2；传播子是：

${\displaystyle G(x)=\left\langle \varphi (x)\varphi (0)\right\rangle =\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\frac {e^{ik\cdot x}}{k^{2}+m^{2}}}.}$ 

若m=0，

${\displaystyle \nabla ^{2}G=\delta (x).}$ 

因为高斯定律，

${\displaystyle E={1 \over 2\pi r}.}$ 

${\displaystyle G(r)={1 \over 2\pi }\log(r)}$ 

若${\displaystyle r\to 0,\infty }$ ，${\displaystyle G(r)\to \pm \infty }$ ，所以一维或二维的纯量场没有明确定义的平均值。

参见墨西哥帽模型。

d=2的O(2)模型没有自发对称破缺，但是有别列津斯基-科斯特利茨-索利斯相变。

（量子相变不受影响。）

两相是：

1、 ${\displaystyle G(r)\sim \exp(-r/\xi )}$ 

${\displaystyle r/\xi \gg 1}$ 

2、幂定律

(a ≪ r ≪ ξ

a 是晶格常数

^[1]

${\displaystyle H=-J\sum _{\left\langle {i,j}\right\rangle }\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {S} _{j}.}$ 

^[2]

^{[3] [4] [5]}

^[6][7][8]

^[9][10]

^[11][12]