柯尼格斯函数

令D为复数中的单位圆盘，设D上有全纯函数${\displaystyle f:D\to D}$ ，f固定点0，其中f不等于0且f不是D的自同构（即由SU(1,1)中矩阵定义的莫比乌斯变换）。

由丹乔-沃尔夫定理（英语：Denjoy–Wolff theorem）可知，f 使得每个由|z|<r表记的圆盘保持不变，且f的迭代一致紧密收敛到0：事实上，在0 < r < 1范围内，对于|z | ≤ r且M(r ) < 1，有：

${\displaystyle |f(z)|\leq M(r)|z|}$ 。

此外，f '(0) = λ，其中0 < |λ| < 1.

Koenigs (1884)证明了，在D上可以定义证明唯一的全纯函数h，称为柯尼希斯函数，使得h(0) = 0, h '(0)=1，同时满足施罗德方程（英语：Schröder's equation）：

${\displaystyle h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z)~.}$ 

函数h 是一系列归一化迭代 ${\displaystyle g_{n}(z)=\lambda ^{-n}f^{n}(z)}$  的紧空间上的一致收敛极限，.

此外，如f为单价，则h同理^[1][2]。

因此，若f（因此 h）为单价，D则可用开放领域U = h(D)识别。 受此共形识别影响，映射f转换为乘以λ（即U上的膨胀）。

证明

• 独特性——若k是另一个解，一经分析，则足以证明k = h接近于0。令

${\displaystyle H=k\circ h^{-1}(z)}$ 

接近0。遂H(0) =0，H'(0)=1 并且对于小|z |，

${\displaystyle \lambda H(z)=\lambda h(k^{-1}(z))=h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\lambda z)=H(\lambda z)~.}$ 

将H代入幂级数，得出H(z) = z 接近0。故h = k接近0。

• 存在——若${\displaystyle F(z)=f(z)/\lambda z,}$ ，则依据施瓦茨引理：

${\displaystyle |F(z)-1|\leq (1+|\lambda |^{-1})|z|~.}$ 

另一方面，

${\displaystyle g_{n}(z)=z\prod _{j=0}^{n-1}F(f^{j}(z))~.}$ 

故依据魏尔施特拉斯判别法检验结果得出g_n一致收敛于|z| ≤ r，因为

${\displaystyle \sum \sup _{|z|\leq r}|1-F\circ f^{j}(z)|\leq (1+|\lambda |^{-1})\sum M(r)^{j}<\infty .}$ 

• 单价——依据赫维茨定理，由于每个gⁿ具有单价性和正规化两项属性（即固定0并在此有导数1），其极限h亦具有单价性。

• Berkson, E.; Porta, H., Semigroups of analytic functions and composition operators, Michigan Math. J., 1978, 25: 101–115, doi:10.1307/mmj/1029002009 
• Carleson, L.; Gamelin, T. D. W., Complex dynamics, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-97942-5 
• Elin, M.; Shoikhet, D., Linearization Models for Complex Dynamical Systems: Topics in Univalent Functions, Functional Equations and Semigroup Theory, Operator Theory: Advances and Applications 208, Springer, 2010, ISBN 978-3034605083 
• Koenigs, G.P.X., Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann. Sci. École Norm. Sup., 1884, 1: 2–41 
• Kuczma, Marek. Functional equations in a single variable. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers. 1968.  ASIN: B0006BTAC2
• Shapiro, J. H., Composition operators and classical function theory, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94067-7 
• Shoikhet, D., Semigroups in geometrical function theory, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 0-7923-7111-9