弗勒登塔尔悬垂定理
在数学的同伦论中,弗勒登塔尔悬垂定理是一条基础定理,引发出稳定同论群的概念,从而产生了稳定同伦论。这条定理是汉斯·弗勒登塔尔在1937年证明,说明了把一个空间取悬垂时,这个空间的同伦群的表现。
定理
- X → Ω(X ∧ S1)
诱导出群同态
- πk(X) → πk(Ω(X ∧ S1)).
此处∧是smash积,Ω是闭路函子。X的悬垂是X ∧ S1。
弗勒登塔尔悬垂定理指出,若k ≤ 2n,则所诱导的同态是群同构;若k = 2n + 1,则是满射。
闭路空间的一个初等结果是
- πk(Ω(X ∧ S1)) ≅ πk+1(X ∧ S1).
因此定理中的映射也可以改换为
- πk(X) → πk+1(X ∧ S1),
但是要当心定理中同伦群的指数是哪一个。
推论
- 因为n-球面Sn是(n − 1)-连通的,由定理知对n ≥ k + 2,同伦群πn+k(Sn)稳定,即是不依赖于n。(n-球面Sn的悬垂是(n+1)-球面Sn+1)这些同伦群是球面的第k个稳定同伦群。
- 更一般地,固定k ≥ 1,对n ≥ k/2,对任何n-连通空间X都可以定义稳定同伦群。这其实是与X相关的谱的稳定同伦群。
参考
- Freudenthal, H., Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen, Compositio Mathematica, 1938, 5: 299–314 [2015-04-18], (原始内容存档于2022-01-04).
- Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser, 1999.
- Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, 2002 [2015-04-18], ISBN 0-521-79540-0, (原始内容存档于2012-02-20).
- Whitehead, G. W., On the Freudenthal Theorems, Annals of Mathematics, 1953, 57 (2): 209–228, JSTOR 1969855, MR 0055683, doi:10.2307/1969855.