弗勒登塔尔悬垂定理

在数学的同伦论中,弗勒登塔尔悬垂定理是一条基础定理,引发出稳定同论群的概念,从而产生了稳定同伦论英语stable homotopy theory。这条定理是汉斯·弗勒登塔尔英语Hans Freudenthal在1937年证明,说明了把一个空间取悬垂英语Suspension (topology)时,这个空间的同伦群的表现。

定理

Xn-连通点标空间英语pointed space(点标CW复形或点标单纯集合)。映射

X → Ω(XS1)

诱导出群同态

πk(X) → πk(Ω(XS1)).

此处∧是smash积英语smash product,Ω是闭路函子英语Loop functorX的悬垂是XS1

弗勒登塔尔悬垂定理指出,若k ≤ 2n,则所诱导的同态是群同构;若k = 2n + 1,则是满射

闭路空间的一个初等结果是

πk(Ω(XS1)) ≅ πk+1(XS1).

因此定理中的映射也可以改换为

πk(X) → πk+1(XS1),

但是要当心定理中同伦群的指数是哪一个。

推论

  • 因为n-球面Sn是(n − 1)-连通的,由定理知对nk + 2,同伦群πn+k(Sn)稳定,即是不依赖于n。(n-球面Sn的悬垂是(n+1)-球面Sn+1)这些同伦群是球面的第k个稳定同伦群英语homotopy group of spheres
  • 更一般地,固定k ≥ 1,对nk/2,对任何n-连通空间X都可以定义稳定同伦群。这其实是与X相关的英语Spectrum (topology)的稳定同伦群。

参考