怀特黑德定理

在数学领域代数拓扑学的同伦论中，怀特黑德定理说，拓扑空间X和Y之间的连续映射f，诱导出所有同伦群之间的同构，则当X和Y是连通，并都有CW复形的同伦型的时候，f是同伦等价。这条定理是J.H.C.怀特黑德在1949年的两篇重要论文中证明，给出理由以他在论文所引入的CW复形概念作为研究对象。

定理叙述

更准确而言，假设给定CW复形X和Y，各有基点x和y。给定连续映射

f\colon X\to Y

使得f(x) = y。考虑对于n ≥ 1 的诱导同态

f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,y),

在此 π_n 对 n ≥ 1 是第n个同伦群。当 n = 0 ，这是道路连通分支间的映射，若假设X和Y是连通的，那么这映射不具有基点，可以忽略掉。若同态 f_* 都是同构，便称 f 为一个弱同伦等价。怀特黑德定理说对于连通CW复形，一个弱同伦等价是一个同伦等价。

有同构同伦群的空间未必是同伦等价

有一点要注意：单单假设对每个n ≥ 1都有π_n(X)与π_n(Y)同构，并不足以得出X和Y是同伦等价。定理中必需设有映射f : X → Y能同时诱导出所有同伦群的同构。例如令 X= S² × RP³和Y= RP² × S³。那么X和Y有相同的基本群π₁，即是Z₂，也有相同的万有覆叠空间，即是S² × S³；因此它们有同构的同伦群（覆叠空间的投影诱导出对所有n ≥ 2的同伦群π_n的同构）。不过，它们的同调群不同（可以从屈内特公式看出）；所以X和Y不是同伦等价。

华沙圈

怀特黑德定理对于一般拓扑空间不成立，甚至不对Rⁿ的所有子空间成立。例如，华沙圈（Warsaw circle）是平面的子集，所有的同伦群都是零，但是从华沙圈到一点的映射不是一个同伦等价。将这定理推广至更一般空间的研究，是形状理论的一部分。

参考文献

J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245
J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496
A. Hatcher, Algebraic topology（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0 (see Theorem 4.5)