悬链曲面

螺旋面与悬链曲面属同一相关曲面，我们可以在不拉缩的情况下将悬链曲面扳成螺旋面。也就是说，我们可以用一个连续且等距的变换将悬链曲面变成螺旋面的一部分，且在变型的每一瞬间，曲面皆为极小曲面。此变换可由下列式子给出：

${\displaystyle x(u,v)=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u}$ 

${\displaystyle y(u,v)=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u}$ 

${\displaystyle z(u,v)=u\cos \theta +v\sin \theta \,}$ 

注意${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$ ，且变换参数${\displaystyle \theta }$ 满足${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$ ，

其中 ${\displaystyle \theta =\pi }$ 对应到右旋螺旋面， ${\displaystyle \theta =\pm \pi /2}$ 对应到悬链曲面， ${\displaystyle \theta =0}$ 对应到左旋螺旋面。

该等距变换可以由微分几何中的曲面第一基本形式证明。

• 几何
• 曲面

1. ^ L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
2. ^ Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Catenoid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-12-30]. （原始内容存档于2013-12-28） （英语）.