曲面的systole

数学上，曲面上的曲线的systolic不等式，最初是查尔斯·娄威纳在1949年研究（未发表，见蒲保明1952年的论文末尾的注解。给定一个闭曲面，其systole记为sys，定义为曲面上不能缩成一点的环路的最短长度。一个度量的systolic面积，定义为比例area/sys²，systolic比SR是其倒数sys²/area。

环面

环面上最短的环路

1949年娄威纳证明了环面T²上的度量的不等式，即是其systolic比SR(T²) 有上界 $2/{\sqrt {3}}$ ，于环面为平坦（常曲率）的等边环面时等号成立。

实射影平面

蒲保明于1952年给出对实射影平面的类似结果，是为蒲氏不等式，证明其systolic比SR(RP²)有上界π/2，也是在常曲率时达到上界。

克莱因瓶

手工吹制的模拟克莱因瓶

对于克莱因瓶K，Bavard(1986)获得了systolic比的最佳上界 $\pi /{\sqrt {8}}$ ：

\mathrm {SR} (K)\leq {\frac {\pi }{\sqrt {8}}},

使用了Blatter在1960年代的工作。

亏格2

亏格2的可定向曲面适合娄威纳的上界 $\mathrm {SR} (2)\leq {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$ (Katz-Sabourau '06)。现在尚未知道正亏格的曲面是否都适合此上界，有猜想指这些曲面都适合。在亏格不小于20时已得到证明(Katz-Sabourau '05)。

任意亏格

对亏格g的闭曲面，Hebda和Burago(1980)证明了systolic比SR(g)有上界2。三年后米哈伊尔·格罗莫夫找到SR(g)的一个上界，是一个常数乘以

{\frac {(\log g)^{2}}{g}}.

一个“较小”的界（带一个较小的常数）由Buser和Sarnak给出。他们证明了算术双曲黎曼曲面的systole表现为一个常数乘以 $\log(g)$ 。注意从高斯－博内定理给出面积是4π(g-1)，所以SR(g)渐近表现为一个常数乘以 ${\tfrac {(\log g)^{2}}{g}}$ 。

参见

曲面的微分几何

参考

Bavard, C. Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein. Math. Ann. 1986, 274 (3): 439–441. doi:10.1007/BF01457227.
Buser, P.; Sarnak, P. On the period matrix of a Riemann surface of large genus (With an appendix by J. H. Conway and N. J. A. Sloane). Inventiones Mathematicae. 1994, 117 (1): 27–56. doi:10.1007/BF01232233.
Gromov, M. Filling Riemannian manifolds. J. Diff. Geom. 1983, 18 (1): 1–147. MR 0697984.
Hebda, J. Some lower bounds for the area of surfaces. Invent. Math. 1981/82, 65 (3): 485–490. doi:10.1007/BF01396632. 请检查|date=中的日期值 (帮助)
Katz, Mikhail G. Systolic geometry and topology. Mathematical Surveys and Monographs 137. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2007. ISBN 978-0-8218-4177-8.
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Pu, P. M. Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds. Pacific J. Math. 1952, 2: 55–71. MR 0048886.