科恩-麦考利环
在交换代数中,Cohen-Macaulay环是对应到一类代数几何性质(例如局部等维性)的交换环。
此概念依数学家弗朗西斯·索尔比·麦考利(Francis Sowerby Macaulay)与欧文·索尔·科恩(Irvin S. Cohen) 命名,麦考利(1916年)证明了多项式环的纯粹性定理,科恩(1946年)则证明了幂级数环的情形;事实上所有Cohen-Macaulay环都具纯粹性。
形式定义
若交换局部环 满足 ,其中 depth 表深度而 dim 表克鲁尔维数,则称之为Cohen-Macaulay环。此性质在局部化之下不变。
一般而言,若交换环 对所有素理想的局部化皆为Cohen-Macaulay环,则称之为Cohen-Macaulay 环。
若一个概形的所有局部环皆为Cohen-Macaulay环,称之为Cohen-Macaulay概形。
例子
几何诠释
Cohen-Macaulay 条件的一种诠释见诸凝聚对偶性,其中模的“对偶化对象”本属于某个导范畴,当考虑的环是 Cohen-Macaulay 环时,该对象可由某个模代表。Gorenstein 条件则更精细,它断言此对偶对象由可逆层代表。正则性最强,它对应于交换环谱在该点的平滑性。就几何观点,Gorenstein 与 Cohen-Macaulay 条件是平滑性的逐步推广,在此框架下可以证明较广的几何定理。
纯粹性定理
设 为诺特环, 为其理想。若对每个 的相伴素理想 皆有 ,则称 为纯粹的。若每个能由 个元素生成之理想 都是纯粹的,则称 满足纯粹性定理。一个诺特环 满足纯粹性定理当且仅当它是 Cohen-Macaulay 环。
文献
- Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
- I.S. Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings Trans. Amer. Math. Soc. , 59 (1946) pp. 54–106
- V.I. Danilov, Cohen-Macaulay ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry (Springer), 编辑
- V.I. Danilov, Cohen–Macaulay ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- MathWorld 页面 (页面存档备份,存于互联网档案馆)