准素理想

在交换代数中，一个交换环 ${\displaystyle R}$ 里的理想 ${\displaystyle Q}$ 若满足 ${\displaystyle R/Q\neq (0)}$，而且其中每个零除数都是幂零的，则称之为准素理想。另一种等价的刻画是：对任意 ${\displaystyle a,b\in R}$，若 ${\displaystyle ab\in Q}$，则或有 ${\displaystyle a\in Q}$，或 ${\displaystyle \exists n\,b^{n}\in Q}$。

若设 ${\displaystyle P}$ 为 ${\displaystyle Q}$ 的根（必为素理想），则也称 ${\displaystyle Q}$ 为P-准素理想。

任何素理想都是准素理想。在整数环 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 中，准素理想对应到素数的幂。

一般而言，对任何 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$，定义

${\displaystyle \mathrm {Ass} (M):=\{P\in \mathrm {Spec} (R):\exists m\in M,P=\mathrm {ann} (m)\}}$

其中 ${\displaystyle \mathrm {ann} (m):=\{r\in R:rm=0\}}$。

对于子模 ${\displaystyle N\subset M}$，若 ${\displaystyle \mathrm {Ass} (M/N)}$ 只有一个元素 ${\displaystyle P}$，则称 ${\displaystyle N}$ 为 ${\displaystyle P}$-准素子模。取 ${\displaystyle R=M}$，便回到先前的定义。